Sammenhæng mellem forskrift og graf

Ud fra et andengradspolynomiums forskrift kan man sige rigtig meget om grafens udseende. Det betyder, at man let kan danne sig et overblik over, hvordan grafen ser ud, uden, at man behøver tegne den.

Betydningen af a

Fortegnet på tallet a afgør, om grafen er en glad eller sur parabel.

$$a>0\Leftrightarrow \text{parabel glad}$$

$$a<0\Leftrightarrow \text{parabel sur}$$

2-5

Betydningen af b

Fortegnet af tallet b afgør, om toppunktet ligger til højre eller venstre for y-aksen.

$$a\:\text{og}\:b\:\text{samme fortegn}\Leftrightarrow \text{Toppunkt til venstre for y-aksen}$$

$$a\:\text{og}\:b\:\text{forskellige fortegn}\Leftrightarrow \text{Toppunkt til højre for y-aksen}$$

$$b=0\Leftrightarrow\text{Toppunkt på y-aksen}$$

2-6

Betydning af c

Tallet c afgør, hvor grafen skærer y-aksen. Dette sker i punktet (0, c).

2-7

Dette skyldes, at når vi sætter x=0 i forskriften for andengradspolynomiet, så får vi, at funktionsværdien er c.

$$f(0)=a\cdot0^2+b\cdot0+c=c$$

Betydningen af d

d, diskriminanten, udregnes som bekendt således:

$$d=b^2-4ac$$

Som vi husker fra afsnittet om diskriminantformlen, så afhænger
antallet af løsninger af fortegnet på d.

Vi husker også på, at løsningerne til en andengradsligning svarer til nulpunkterne for det tilsvarende andengradspolynomium.

Derfor siger diskriminanten noget om, hvor mange nulpunkter grafen har.

$$d<0\Leftrightarrow \text{ingen nulpunkter}\\d=0\Leftrightarrow 1\text{ nulpunkt}\\d>0\Leftrightarrow 2\:\text{ nulpunkter}$$

2-8

Eksempel:

$$f(x)=2x^2+3x-1$$

I denne andengradsligning er
a=2, b=3, c= -1 og

$$d=b^2-4ac=3^2-4\cdot2\cdot(-1)=9+8=17$$

Da a er positiv, er grafen en glad parabel

Da b også er positiv, befinder toppunktet sig til venstre for y-aksenDa c er -1, vil grafen skære y-aksen i punktet (0, -1)

Da d er positiv vil grafen have to nulpunkter.

Vi kan tegne grafen og tjekke, at vi har ret:

2 9


Videolektion

Har du et spørgsmål, du vil stille om Sammenhæng mellem forskrift og graf? Skriv det i Webmatematiks forum!
Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!