Regneregler for integraler

Ligesom med differentialregningen findes der også regneregler for, hvordan man integrerer summer og differenser af funktioner samt hvordan, man integrerer produktet af en funktion og en konstant. Alle disse regler kan eftervises vha. integrationsprøven

Sumreglen

Den første regel er sumreglen

$$\int f(x)+g(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$$

Hvis man skal integrere summen af to funktioner, integrerer man hver funktion for sig og lægger bagefter sammen. Med andre ord: "integralet af en sum er summen af integralerne" F.eks. kunne man blive bedt om at integrere

$$x^2+\frac{1}{x}$$

så siger reglen, at vi skal integrere de to funktioner hver for sig

$$\int x^2+\frac{1}{x}\,dx=\int x^2\,dx+\int\frac{1}{x}\,dx$$

$$=(\frac{1}{3}x^3+k_1)+(\ln(|x|)+k_2)$$

$$=\frac{1}{3}x^3+\ln(|x|)+k$$

hvor vi har samlet integrationskonstanterne k1 og k2 i en samlet konstant k.

Differensreglen

Differensreglen minder meget om sumreglen. Eneste forskel er, at man her betragter differensen af to funktioner

$$\int f(x)-g(x)\,dx=\int f(x)\,dx-\int g(x)\,dx$$

Med ord siger vi, at "integralet af en differens er differensen af integralerne".
F.eks. kunne man blive bedt om at integrere

$$2x-14x^6$$

Vi integrerer hvert led for sig og trækker dem fra hinanden til sidst.

$$\int 2x-14x^6\,dx=\int2x\,dx-\int14x^6\,dx$$

$$=(x^2+k_1)-(2x^7+k_2)$$

$$=x^2-2x^7+k$$

hvor vi igen har samlet integrationskonstanterne k1 og k2 i en samlet konstant k.

Produkt af konstant og funktion

Hvis vi ønsker at integrere produktet af en konstant og en funktion, så lader vi bare konstanten stå og ganger den på integralet af funktionen.

$$\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx$$

Vi har allerede benyttet denne regel et par gange ovenfor, men lad os tage et eksempel på den alligevel. Hvis vi skal integrere

$$3\cdot x^2$$

så lader vi konstanten stå og integrerer funktionen:

$$\int3x^2\,dx=3\int x^2\,dx$$

$$=3(\frac{1}{3}x^3+k_1)$$

$$=x^3+k$$

her har vi ladet ladet konstanten 3k1 blive integrationskonstanten k.

Der findes også regler for, hvordan man integrerer produktet af to funktioner samt sammensatte funktioner. Men det lærer man først på A-niveau eller universitetet.


Videolektion

Har du et spørgsmål, du vil stille om Regneregler for integraler? Skriv det i Webmatematiks forum!
Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!