Potensfunktioner

Den tredje vigtige type funktion (udover lineære og eksponentielle) er potensfunktionerne.

Et eksempel på en potensfunktion kunne være

$$y=5\cdot x^2$$

Og den generelle forskrift for en potensfunktion er

$$y=b\cdot x^a$$

Den hedder en potensfunktion, fordi den består af en potens (xa) med fast eksponent (a) og variabelt grundtal (x). Derudover er der en koefficient, b, der ganges på.

Potensfunktionen har den egenskab, at når x-værdien stiger med en fast procent, så stiger y-værdien også med en fast procent. Under tiden kaldes potensfunktioner også procent-procent-vækst.

Det betyder med andre ord, at når vi ganger vores x-værdi med et tal, k, så skal vi gange vores y-værdi med ka.

Læg mærke til, hvordan det adskiller sig fra eksponentialfunktionen, hvor y steg med en vis procent, når x steg med et tal. I potensvæksten skal x stige med en procent og ikke et tal, før y stiger med en bestemt procent.

1 86

Vi kan se på grafen, at når x vokser med 200% (dvs. vi ganger med 3), så vokser y med 100% (dvs. vi ganger med 2).

Når x=1, og vi stiger 200%, er vi oppe på 3. Og y er steget med 100% (fra 4 til 8)

Når x=5, og vi stiger med 200%, er vi oppe på 15. Og y er steget med 100% (fra 11 til 22).

Lige meget hvor vi starter, vil en forøgelse på 200% på x-aksen resultere i, at y forøges med 100%.

Man kan også udtrykke det på en anden måde.

Hvis vi fremskriver en x-værdi med faktoren Fx så fremskrives y-værdien med faktoren Fy, og sammenhængen mellem de to faktorer er

$$F_y={F_x}^a\quad\Leftrightarrow\quad F_x=\sqrt[a]{F_y}$$

Hvis vi f.eks. har potensfunktionen

$$y=5x^2$$

og vil fremskrive vores x-værdi med 20 % (Dvs Fx=1,20), så er

$$F_y={F_x}^a=1,20^2=1,44$$

Dvs. at når x stiger med 20% så vil y stige med 44%

Hvis vi gerne vil have y til at stige med 69 % (dvs. Fy=1,69), hvor mange procent skal vores x så fremskrives?

$$F_x=\sqrt[a]{F_y}=\sqrt[2]{1,69}=\sqrt{1,69}=1,30$$

Dvs. når y stiger med 69 % så stiger x med 30%.

Betydningen af a

I modsætning til de to andre funktionstyper, kan grafen for potensfunktioner se meget forskellige ud. Udseendet afhænger i høj grad af, hvilken værdi a har.

1 87

Vi ser, at hvis a er mindre end 0, vil grafen starte højt oppe og smyge sig ned langs y-aksen for så at nærme sig 0 og så smyge sig henad x-aksen. Bemærk, at den aldrig krydser nogen af akserne! Funktionen er altså aftagende.

Hvis a er 0, er funktionen konstant med y=b.

Hvis a ligger mellem 0 og 1, vil vi have en voksende graf, som flader mere og mere ud. 

Hvis a er 1, har vi en ret linje (med hældning b). Og sidst men ikke mindst: hvis a er større end 1, har vi en graf, der vokser og bliver mere og mere stejl.

Når a ligger mellem 0 og 1, er potensfunktionen faktisk også en "rodfunktion". Som eks. Er

$$x^\frac{1}{2}=\sqrt{x}$$

(se evt. afsnittet om kvadratrødder og andre rødder).

Derfor vil en funktion som

$$y=5x^\frac{1}{3}$$

være det samme som

$$y=5\cdot\sqrt[3]{x}$$

Betydning af b

Ovenfor har vi set, hvad tallet a betyder for grafens udseende.

Imidlertid siger tallet b også noget om, hvordan grafen ser ud. Det er nemlig den værdi, der er på y-aksen, når x er 1. For at aflæse b ud fra en graf skal man altså gå ud ad x-aksen til man støder på 1, og derefter gå op ad y-aksen, til man støder på grafen; y-værdien i dette punkt er så b.

1-90

Her ser vi forskellige potensfunktioner med samme b-værdi (men vidt forskellige a-værdier).

1-91

Grafen

Nogle gange kan grafen for en potensfunktion ligne grafen for en eksponentiel funktion til forveksling. Imidlertid er der nogle tommelfingerregler, så man kan kende forskel.

Når a er større end 1, ligner grafer en voksende eksponentialfunktion. Der hvor de adskiller sig er, at grafen for en eksponentialfunktion vil skære y-aksen i punktet (0,b), mens potensfunktionens graf kommer uendeligt tæt på origo (0,0), men aldrig helt vil skære y-aksen (selvom det på grafen ser sådan ud), fordi potensfunktionen kun er defineret for positivie reelle tal. 

Ny Potensvækst Eksp

Man kan også komme til at forveksle grafen for en potensfunktion med a mindre end 0 med aftagende eksponentialfunktioner.

Her skal vi igen huske, at en aftagende eksponentialfunktion skærer y-aksen i punktet (0, b), mens en potensfunktion med a mindre end 0 aldrig skærer y-aksen.

1 89

Hvis man har nogle punkter og vil finde ud af, om de tilhører en eksponentiel eller potensvækst, kan man tegne dem ind i forskellige koordinatsystemer.

En potensfunktion vil danne en ret linje i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, mens en eksponentialfunktion vil danne en ret linje i et enkeltlogaritmisk (semilogaritmisk) koordinatsystem.

Find x og y

I en potensfunktion er y en funktion af x. Hvis vi kender x, kan vi altså sætte det ind på højre side og så finde ud af, hvad det tilhørende y er.

Hvis vi derimod kender y og gerne vil bestemme x, skal vi først have isoleret x i udtrykket.

$$y=b\cdot x^a$$

$$\frac{y}{b}=x^a$$

$$\sqrt[a]{\frac{y}{b}}=x$$

Vi kan altså finde x ved formlen

$$x=\sqrt[a]{\frac{y}{b}}$$

Lad os tage et eksempel.

Hvis

$$y=4x^3$$

og vi får at vide, at x=2. Så kan vi beregne y ved at indsætte 2 på x's plads.

$$y=4x^3=4\cdot2^3=4\cdot8=32$$

y er altså 32.

Hvis vi får at vide, at y=108, så kan vi beregne x.

$$x=\sqrt[a]{\frac{y}{b}}=\sqrt[3]{\frac{108}{4}}=\sqrt[3]{27}=3$$


Videolektion

Har du et spørgsmål, du vil stille om Potensfunktioner? Skriv det i Webmatematiks forum!
Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!