Kvadratrødder og andre rødder
Rødder er det omvendte af potenser. Feks. Kan vi sige
$$\sqrt{9}=3\quad \mathrm{fordi} \quad 3^2=9$$
$$\sqrt[3]{125}=5\quad \mathrm{fordi} \quad 5^3=125.$$
Kvadratrødder
Fordi kvadratroden af 9 er 3, og 32 er 9, kan vi skrive:
$$\left (\sqrt{9} \right )^2=9.$$
Eller generelt
$$\left (\sqrt{a} \right )^2=a,\qquad a>0.$$
På den måde kan man sige, at kvadratrod og "i anden potens" går ud med hinanden.
Hvis vi husker på potensregnereglerne kan vi se, at
$$(9^{\frac{1}{2}})^2=9^{\frac{1}{2}\cdot2}=9^1=9.$$
Nu har vi, at både \(9^{1/2}\) og \(\sqrt{9}\), når vi opløfter det til anden potens, giver 9. Altså må de to være ens
$$\sqrt{9}=9^{\frac{1}{2}}.$$
Generelt har vi, at
$$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}},\qquad a>0.$$
Da kvadratroden kan skrives om til en potens, betyder det at alle potensregnereglerne også gælder for kvadratrødder.
Definitionen af kvadratrod
Kvadratroden af et tal, \(a\), er defineret som det positive tal, der ganget med sig selv giver \(a\). Derfor er kvadratroden af 9 lig med 3, selvom både \((-3)^2\) og \(3^2\) giver 9. Ved at definere kvadradrod på denne måde, sikrer man bl.a at kvadratrodsfunktionen er entydigt defineret.
En anden måde at sige dette på, er:
$$ \sqrt{a}=b \text{ såfremt } b \geq 0 \text{ og } b^2=a. $$
Kvadratroden af 0
Man kan godt tage kvadratroden af 0. \(\sqrt{0}=0\), ligesom at \(0^{\frac{1}{2}}=0\).
Andre rødder
Når man finder kvadratroden af et tal \(a\) handler det om at finde et tal, der ganget med sig selv giver \(a\). Dette kan man udvide. Kubikroden, \(k\), af \(a\) er det tal, der ganget med sig selv to gange giver \(a\): \(k\cdot k\cdot k=a\). Den fjerde rod af \(a\) er det tal, der ganget med sig selv 3 gange giver \(a\). osv. Når vi skal finde kubikroden af \(a\), skriver vi \(\sqrt[3]{a}\), og når vi skal finde den fjerde rod, skriver vi \(\sqrt[4]{a}\). Vi skriver ikke 2 over rodtegnet, når vi skal finde en kvadratrod.
$$\sqrt[3]{8}=2\quad \mathrm{fordi} \quad 2^3=8$$
$$\sqrt[4]{81}=3\quad \mathrm{fordi} \quad 3^4=81.$$
Ligesom at man kan skrive kvadratroden om til en potens, kan man også skrive alle andre rødder om til potenser.
$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}.$$
Bemærk, at da alle rødder kan skrives om til potenser, så gælder potensregnereglerne for alle rødder.
Roden af en potens
Hvis vi tager den n'te rod af \(a^{n}\) får vi selvfølgelig a
$$\sqrt[n]{a^n}=(a^n)^\frac{1}{n}=a^{n\cdot\frac{1}{n}}=a^1=a.$$
Men hvad nu, hvis rod og eksponent er forskellige?
$$\sqrt[3]{4^2}=\: ?$$
Vi omskriver simpelthen bare roden til en potens.
$$\sqrt[3]{4^2}=(4^2)^\frac{1}{3}=4^{2\cdot\frac{1}{3}}=4^\frac{2}{3}.$$
Generelt har vi reglen
$$\sqrt[q]{a^p}=a^\frac{p}{q}.$$
Regneregler for rødder
Vi omskriver nogle af potensregnereglerne, så vi også kan bruge dem med rødder.
$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$$
$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$
$$a^{-\frac{1}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a}}.$$