Hvor meget slik kan der være i en fastelavnstønde?

Der er matematik i alt

Hvis en fastelavnstønde er 60 cm høj og har en diameter på 32 cm i top og bund samt en diameter på 37 cm på midten kan den rumme 58,9 liter slik. Ud fra hvor tæt M&M's fordeler sig i en beholder, estimerer vi, at der kan være 60.111 M&M's i tønden. God fastelavnfest - pas på I ikke får sukkerchok!

Sådan har vi regnet den ud

Rumfanget (V) af en tønde kan findes med $$ \text{V}=\frac{\pi \cdot \text{h}}{15} \cdot (2 \cdot \text{D}^2 + d \cdot D + \frac{3}{4}\cdot d^2)$$       

Her er D diameteren, hvor tønden er bredest, og d er tøndens diameter i top og bund.

Indsætter vi vores mål, der alle er i centimeter, får vi følgende udregning:

$$ \text{V}=\frac{\pi \cdot 60}{15} \cdot (2 \cdot 37^2 + 32 \cdot 37 + \frac{3}{4}\cdot 32^2) = 58936,3 \text{cm}^3 $$ 

(Vi kan naturligvis finde samme volumen ved at bruge integralregning: Vi kan se tønden som en del af et andengradspolynomium der går igennem punkterne (0;16) (30;18,5) og (60;16). Vi finder funktionen for grafen, og undersøger det omdrejningslegeme med grænserne 0 og 60, der fremkommer, når vi drejer grafen om x-aksen - det har samme rumfang, som vi fandt med formlen herover.)

Denne værdi omregner vi til enheden liter ved at dividere med $$1000 \text{cm}^3/\text{L} $$ 

$$ \frac{58936,3 \text{cm}^3}{1000 \text{cm}^3/\text{L}} = 58,9363 \text{L}$$

 

Et studie, der undersøger, hvordan M&M's fordeler sig i en kasse med kvadratisk bund, konkluderer, at M&M's fyldte 66,5 % af beholderens rumfang ud - resten af beholderens indhold er luft imellem chokoladerne. Vi antager, at det også sker i en tønde. 66,5 % af de 58,94 L findes ved at udregne

$$ \frac{58,9363 \text{L}}{100 %} \cdot 66,5 % = 39,19 \text{L} $$

Der kan altså være 39,19 L M&M's i tønden.

 

M&M's er et specialtilfælde af ellipsoider, hvis rumfang kan udregnes med $$ \text{V} = \frac{4}{3}\pi\cdot \text{a}^2\cdot \text{b}$$

Her er a radiussen af en M&M, og b er halvdelen af højden, hvor en M&M er tykkest. a er 0,67 cm og b er 0,3465 cm for en normalstørrelse M&M.

Udregningen er altså:  

$$ \text{V} = \frac{4}{3}\pi\cdot \text{0,67}^2\cdot \text{0,3465} = 0,651541 \text{cm}^3 $$

På samme måde som før omregner vi resultatet til liter: 0,000651541 L

 

Vi vil finde ud af, hvor mange M&M's (der hver især fylder 0,000651541L), der går på 39,19 L, og det gør vi ved at udregne

$$ \frac{39,19 \text{L}}{0,000651541 \text{L}} = 60.111,3 $$

Altså kan der være 60.111 M&M's i vores fastelavnstønde.

Kilde 1 | Kilde 2 | Kilde 3

Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!