Sneboldskast
Vi har tidligere skrevet om Väggen, der er Nordens stejleste bakke med en hældning på hele 45\(^{\circ}\). Her lykkes det nogle af verdens bedste skiløbere at opnå en fart på mere end 200 km/t. Forestil dig, hvor langt de må være i stand til at kaste en snebold med den fart, de har på.
Så meget fart kan du formentlig ikke nå at få på. Men det får os alligevel til at stille spørgsmålet: Hvor langt kan du kaste en snebold og ramme din ven lige i hovedet, når du har fået god fart på ved bakkens ende?
Det viser sig faktisk, at du kan ramme ham/hende på en afstand af hele 154 meter.
Havde du derimod været en professionel skiløber med Mikkel Hansens kastearm, så ville du faktisk kunne kast bolden hele 755 meter.
Vi har tidligere udregnet, at man kan nå at tage hele 196 ture op og ned ad Väggen på en dag. Så hvis du er hurtig - og heldig nok - så kan du faktisk nå at kaste 196 snebolde i hovedet på din ven i løbet af en dag.
God fornøjelse!
Sådan har vi regnet det
Der er tale om et skråt kast. Snebolden vil altså følge en såkaldt kasteparabel. Vi kan beskrive kastet ud fra kinematiske ligninger.
Der er i virkeligheden tale om et 2-dimensinelt problem men ifølge uafhængighedsprincippet kan vi opdele problemet i to uafhængige fysiske 1-dimensionelle problemer.
Vi antager, at der ikke er luftmodstand, hvorfor der ikke er nogen acceleration i x-retningen. Startfarten i denne dimension må derfor nødvendigvis være den samme som slutfarten jf. Newtons 2. lov.
\( x = x_0 + v_{x0}\, t \)
I y-retningen har vi dog en acceleration, da tyngdekraften netop virker i denne retning. Altså ser vores kinematiske ligning for y-retningen således ud:
\( y = y_0 + v_{y0} \, t - \frac{1}{2} \, g t^2 \)
Vi antager, at din ven er ligeså høj som fra det punkt du kaster snebolden. Derudover antager vi, at du kaster bolden til tiden t = 0.
Sneboldens hastighed er en vektor med en x- og y-dimension.
$$ \overrightarrow{v_0}=\begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix} $$
Vi kan finde størrelsen af hastigheden i x- og y-retningerne ved netop at projektere vektoren ned på akserne.
$$ \overrightarrow{v_0}=\begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}|v_0| \cos(\theta) \\|v_0|\sin(\theta)\end{pmatrix} $$
hvor \(|v_0|\) er farten eller den absolute længde på vores hastighedsvektor mens \(\theta\) er vinklen med vandret som snebolden slippes med.
Det kan vi nu indsætte i vores kinematiske ligninger, hvorved vi opnår:
\( x = x_0 + |v_0| \cos(\theta)\, \Delta t \)
\( y = y_0 + |v_0|\sin(\theta) \, \Delta t - \frac{1}{2} \, g \Delta t^2 \)
Da du kaster snebolden i samme højde som din vens hoved sætter vi dette som nulpunkt. Vi skal altså løse:
\( 0 = 0 + |v_0|\sin(\theta) \, t - \frac{1}{2} \, g \, t^2 \)
for tiden, t.
Det kan vi isolere:
\( |v_0|\sin(\theta) \, t = \frac{1}{2} \, g \, t^2 \)
\(\Updownarrow\)
\( |v_0|\sin(\theta) = \frac{1}{2} \, g \, t \)
\(\Updownarrow\)
\( \frac{2\, |v_0|\sin(\theta)}{g} = t \)
Vi ved nu, at det er til netop den tid, at snebolden smasker ind i hovedet på din ven, så nu indsætter vi det udtryk i vores kinematiske ligning for x-retningen, hvorved vi kan bestemme, hvor langt du kan kaste snebolden.
\( x = 2 \, \frac{|v_0|^2\sin(\theta)\, \cos(\theta)}{g} \)
Den optimale kastevinkel er 45 grader, så vi antager, at du er sindssygt god til at optimere din kastevinkel.
Nu mangler vi altså blot at indsætte den hastighed, som du tyrer bolden afsted med.
Ned ad bakken kan de fleste fritidsskiløbere opnå en fart på ca. 80 km/t. Vi antager, at du er rimelig gennemsnitlig. Derudover antager vi, at din kastearm er halvt så god som Mikkel Hansens, så kan du kaste bolden med 60 km/t.
\(|v_0| = 80 \, \mathrm{km/t} + 60 \, \mathrm{km/t} = 140 \, \mathrm{km/t} \)
Det skal dog omregnes til SI-grundenheder så vi kan bruge det i vores formel.
\(|v_0| = 140 \, \mathrm{km/t} \cdot \frac{1}{3600}\,\mathrm{t/s} \cdot 1000\, \mathrm{m/km} = 38{,}89 \mathrm{m/s} \)
Nu er det således bare at sætte ind i udtrykket:
\( x = 2 \, \frac{\left(38{,}89 \mathrm{m/s}\right)^2\sin(45)\, \cos(45)}{9{,}82\mathrm{m/s^2}} = 154 \, \mathrm{m} \)
Du vil atlså kunne kaste snebolden hele 154 meter med den fart, hvis vi antager at luftmodstanden er neglicierbar.
Kilder:
https://www.wired.com/2008/12/what-angle-should-you-throw-a-football-for-maximum-range/