Partiel integration
Som nævnt i sidste afsnit er det ikke muligt at komme med en fremgangsmåde til at løse alle integraler. Alligevel har vi nogle værktøjer, nogle metoder, vi kan prøve os frem med for at løse integraler. Partiel (eller delvis) integration er en af disse metoder.
Man bruger partiel integration, når integranden (indmaden i integralet) er et produkt af funktioner.
Den formel, man bruger, når man integrerer partielt er:
$$\int f(x)g(x)\:dx=f(x)G(x)-\int f'(x)G(x)\:dx$$
$$\int_a^b f(x)g(x)\:dx=[f(x)G(x)]_a^b-\int_a^b f'(x)G(x)\:dx$$
Man kan selv vælge, hvilken af de to funktioner, man vil differentiere og hvilken man vil integrere. Dette valg er vigtigt for, om det bliver et pænere eller et grimmere integral, man ender ud med efter den partielle integration.
Et hint er, at hvis der er en funktion af formen x eller xn, så skal man vælge at differentiere den.
Vi tager et eksempel med et ubestemt integral
$$\int2x\cdot\cos(x)\:dx$$
Vi vælger at det er 2x, der skal differentieres, mens cos(x) skal integreres.
Vi starter med at skrive de fire størrelser op:
$$f(x)=2x,\quad g(x)=\cos(x),\quad f'(x)=2,\quad G(x)=\sin(x)$$
Nu sætter vi dem ind i formlen
$$\int2x\cos(x)\:dx=2x\cdot\sin(x)-\int2\cdot\sin(x)\:dx$$
Det integral, vi har på højre side kan vi sagtens udregne.
$$\int2x\cos(x)\:dx=2x\cdot\sin(x)-\int2\cdot\sin(x)\:dx$$
$$=2x\cdot\sin(x)- 2\cdot(-\cos(x))+c=2x\cdot\sin(x)+2\cos(x)+c$$
Vi tager også et eksempel med et bestemt integral, hvor vi skal bruge partiel integration 2 gange, før det giver noget resultat.
$$\int_0^1x^2e^{\frac{x}{2}}\:dx$$
Vi vælger, at vi vil differentiere x2 og integrere ex/2
$$f(x)=x^2,\quad g(x)=e^{\frac{x}{2}},\quad f'(x)=2x,\quad G(x)=2e^{\frac{x}{2}}$$
Nu sætter vi ind i formlen
$$\int_0^1x^2e^{\frac{x}{2}}\:dx\:=[x^2\cdot2e^\frac{x}{2}]_0^1-\int_0^12x\cdot2e^\frac{x}{2}\:dx=[2x^2e^\frac{x}{2}]_0^1-\int_0^14x\cdot e^\frac{x}{2}\:dx$$
Det integral, vi er nået frem til på højre side, kan vi endnu ikke udregne. Derfor bruger vi partiel integration endnu engang.
$$h(x)=4x,\quad k(x)=e^\frac{x}{2},\quad h'(x)=4,\quad K(x)=2e^\frac{x}{2}$$
Vi indsætter i formlen og får
$$[2x^2e^\frac{x}{2}]_0^1-\int_0^14x\cdot e^\frac{x}{2}\:dx = [2x^2e^\frac{x}{2}]_0^1-\left([4x\cdot2e^\frac{x}{2}]_0^1-\int_0^14\cdot2e^\frac{x}{2}\:dx \right )\\$$
Det sidste integral består kun af en enkelt funktion, og den kan vi sagtens integrere.
Alt i alt får vi:
$$\int_0^1x^2e^\frac{x}{2}\:dx=[2x^2e^\frac{x}{2}]_0^1-\left([4x\cdot2e^\frac{x}{2}]_0^1-\int_0^14\cdot2e^\frac{x}{2}\:dx\right )$$
$$=[2x^2e^\frac{x}{2}]_0^1 - [8x\cdot e^\frac{x}{2}]_0^1 + 16e^\frac{x}{2}]_0^1$$
$$=(2\cdot1\cdot e^\frac{1}{2}-2\cdot0 \cdot e^0)-(8\cdot1\cdot e^\frac{1}{2}-8\cdot0\cdot e^0)+(16e^\frac{1}{2}-16e^0)$$
$$=2e^\frac{1}{2}-8e^\frac{1}{2}+16e^\frac{1}{2}-16=10e^\frac{1}{2}-16=10\sqrt{e}-16$$