Stamfunktion
Stamfunktion
Stamfunktioner betegnes ofte med store bogstaver. Hvis vores oprindelige funktion hedder \(f\), betegner vi således dens stamfunktion(er) med \(F\).
Det, der skal til for at være en stamfunktion, er, at hvis man differentierer stamfunktionen, får man den oprindelige funktion.
Man kan med andre ord sige, at \(F\) er en stamfunktion til \(f\) hvis
$$F'(x)=f(x)$$
Hvis man får givet funktionen
$$f(x)=2x+1$$
kan man gætte sig frem til, at en stamfunktion til f er
$$F(x)=x^2+x$$
Dette skyldes, at
$$F'(x)=(x^2+x)'=2x+1=f(x)$$
og det var jo netop det, der skulle til for, F var en stamfunktion til f. På samme måde kan man sige, at
$$F(x)=2x^3+4x$$
er stamfunktion til
$$f(x)=6x^2+4$$
fordi
$$F'(x)=(2x^3+4x)'=2\cdot3x^{3-1}+4=6x^2+4=f(x)$$
Uendeligt mange stamfunktioner
Hvis man differentierer
$$x^2$$
får man
$$2x$$
Derfor er x2 stamfunktion til 2x.
Hvis man differentierer
$$x^2+4$$
får man imidlertid også
$$2x$$
det vil sige at x2+4 også er en stamfunktion til 2x
Hvad ville der ske, hvis man differentierede x2+5? x2-788?
Man ville få 2x i alle tilfælde. Dette skyldes, at konstanterne forsvinder (bliver til 0) når man differentierer. Lige meget hvilken konstant, vi smider på x2, vil det altså blive en stamfunktion til 2x.
Funktionen
$$f(x)=2x$$
har altså uendeligt mange stamfunktioner. De minder allesammen meget om hinanden. De indeholder alle sammen x2, og det eneste, der adskiller dem, er en konstant. Derfor kan vi være smarte og skrive alle stamfunktionerne på én gang som
$$F(x)=x^2+k$$
hvor k er en konstant.
Integrationsprøven
Hvis man er i tvivl om man er kommet frem til den rigtige stamfunktion, findes der en måde at prøve det efter på. Man differentierer simpelthen bare den formodede stamfunktion og ser, om man får den oprindelige funktion frem. Denne metode (som egentlig bare er definitionen på hvad en stamfunktion er) er så nyttig, at den har fået sit eget navn: Integrationsprøven.
Eksempelvis kunne man blive bedt om at afgøre om
$$F(x)=2x^2+3x^3$$
er stamfunktion til
$$f(x)=4x+10x^2$$
Vi tester det vha. integrationsprøven:
$$F'(x)=2\cdot2x^{2-1}+3\cdot3x^{3-1}=4x+9x^2\neq f(x)$$
Da vi ikke nåede frem til f, er F ikke stamfunktion til f.