Differentiation af sammensat funktion
Vi har tidligere set, hvordan man differentierer simple funktioner, hvordan man differentierer en sum af funktioner, en differens af funktioner samt et produkt eller en kvotient af funktioner. Vi kan dermed næsten differentiere alle differentiable funktioner. Det eneste, vi mangler, er, at kunne differentiere sammensatte funktioner. Når vi har dette værktøj på plads, findes der ikke en eneste differentiabel funktion, som vi ikke kan differentiere.
Reglen til at differentiere en sammensat funktion er
$$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
Med ord, ville det lyde: "man differentierer en sammensat funktion ved at differentiere den ydre funktion med den indre urørt, og gange med den indre funktion differentieret". Reglen kaldes nogle gange for "kædereglen".
Lad os lige gennemgå nogle eksempler.
Vi ønsker at differentiere
$$h(x)=\sin(3x+2)$$
h er sammensat af
$$y(x)=\sin(x),\qquad i(x)=3x+2$$
Vi starter med at differentiere den ydre funktion.
$$y'(x)=\cos(x)$$
så indsætter vi den indre urørt på x's plads
$$y'(i(x))=\cos(3x+2)$$
Dernæst differentierer vi den indre
$$i'(x)=3$$
og dette skal vi så gange på.
I alt får vi altså:
$$h'(x)=\cos(3x+2)\cdot3$$
Lad os tage endnu et eksempel.
$$k(x)=(x^3+5)^4$$
k er sammensat af de to funktioner
$$y(x)=x^4,\quad i(x)=x^3+5$$
Vi differentierer den ydre
$$y'(x)=4x^3$$
og indsætter den indre på x's plads.
$$y'(i(x))=4(x^3+5)^3$$
Nu differentierer vi den indre funktion
$$i'(x)=3x^2$$
Dette ganger vi på, for at få den samlede differentialkvotient
$$k'(x)=y'(i(x))\cdot i'(x)=4(x^3+5)^3\cdot3x^2=12x^2(x^3+5)^3$$
I videoen kan du se, hvordan man differentierer -ln(cos(x)) og forstå hvorfor det er stamfunktion til tan(x).