Funktionstilvækst

Som nævnt tidligere handler differentialregning om at finde ud af, hvor hurtigt funktioner vokser/aftager.

Derfor er man nødt til først at finde ud af, hvor meget funktionen vokser. Man bruger indenfor matematikken tit det græske bogstav Δ (delta) til at beskrive en tilvækst.

Hvis man har et fast punkt x0 og man ønsker at se, hvor meget funktionen ændres (vokser/aftager), hvis man går et lille stykke, h, hen på x-aksen, så kan man beregne funktionstilvæksten, Δy.

$$\Delta y=y_2-y_1=f(x_0+h)-f(x_0)$$

2-38

Lad os tage et eksempel. Vores funktion er f(x) = x2 - 2x, og det punkt, vi ønsker at bestemme funktionstilvæksten fra er x0 = 3

Vores formel for funktionstilvæksten er altså

$$\Delta y=f(3+h)-f(3)$$

Vi finder først f(3+h) ved at sætte 3+h ind på x's plads i funktionsudtrykket.

$$f(3+h)=(3+h)^2-2(3+h)=(3+h)^2-6-2h$$

Vi bruger kvadratsætningerne til at reducere udtrykket

$$(3+h)^2-6-2h=(9+h^2+6h)-6-2h=h^2+4h+3$$

Nu udregner vi f(3).

Funktionstilvæksten er derfor

$$\Delta y=f(3+h)-f(3)=(h^2+4h+3)-(3)=h^2+4h$$

Afhængig af, hvor stor h er (hvor stort et skridt vi tager på x-aksen), kan vi altså bestemme, hvor stor funktionstilvæksten vil blive ved at sætte denne h-værdi ind.

Eksempel med tredjegradspolynomium

Vi kan også tage et eksempel med et tredjegradspolynomium. Vi betragter funktionen f(x)=x3+4x, og vælger nu vores begyndelsespunkt x0 til at være 2. Vi har igen, at:

$$ \Delta y = f(2+h) -f(2) $$

Vi finder f(2+h) på samme måde som før:

$$f(2+h) = (2+h)^3 + 4(2+h) = (2+h)^3 +8+4h$$

Denne gang skal vi bruge en kubiksætning på udtrykket, da det står i tredje potens:

$$(2+h)^3 +8+4h = 2^3 +h^3 +3 \cdot 2^2 h + 3\cdot 2 h^2 +8+4h \\ = 8 +h^3 +12 h + 6 h^2 +8+4h = h^3 +6h^2 + 16h +16  $$

Så udregner vi f(2):

$$f(2) = 2^3 +4 \cdot 2 = 8+8=16$$

Nu kan vi bestemme funktionstilvæksten:

$$ \Delta y = h^3 +6h^2 + 16h +16 - 16 =h^3 +6h^2 +16h $$

Det er altså samme princip for polynomier af højere orden, men vi får nogle noget mere besværlige udtryk at arbejde med.


Videolektion

Har du et spørgsmål, du vil stille om Funktionstilvækst? Skriv det i Webmatematiks forum!
Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!