Regnearternes egenskaber

Når vi regner med reelle tal, er der forskellige egenskaber, vi kan bruge.

Kommutativitet

En regneart er kommutativ, hvis resultatet er ens, uanset hvilket tal der står foran og bagved regnetegnet. Generelt skrives den kommutative lov for addition som

$$a+b = b+a.$$

Et par eksempler er

$$4+3=7$$

$$3+4=7.$$

Vi får det samme resultat i begge tilfælde. Derfor er addition (plus) altså kommutativ.
Ligeledes er multiplikation (gange) kommutativ. Generelt udtrykkes dette som

$$a\cdot b = b\cdot a.$$

F.eks. får vi det samme i dette tilfælde:

$$4\cdot2=8$$

$$2\cdot4=8.$$

Imidlertid er de to andre regnearter (division og subtraktion) IKKE kommutative. Dette kan vi overbevise os om med følgende eksempler:

$$8-5=3$$

$$5-8=-3$$

og

$$\frac{5}{2}=2,5$$

$$\frac{2}{5}=0,4$$

hvor rækkefølgen af tallene altså ikke er ligegyldig.

Associativitet

Hvis man skal addere (lægge) 3 (eller flere) tal sammen, er det ligegyldigt, om man starter med at plusse de to første tal sammen eller de to sidste. Generelt skrives dette som

$$(a+b)+c = a+(b+c).$$

Et par eksempler kunne være

$$(2+3)+4=5+4=9$$

$$2+(3+4)=2+7=9.$$

Denne egenskab kaldes associativitet.
Multiplikation (gange) er også associativ. Generelt udtrykkes dette som

$$(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c).$$

F.eks. kan vi se, at

$$(2\cdot3)\cdot4=6\cdot4=24$$

$$2\cdot(3\cdot4)=2\cdot12=24.$$

De to øvrige regnearter (division og subtraktion (minus)) er IKKE associative. F.eks. kan vi se, at

$$(4-2)-1=2-1=1$$

$$4-(2-1)=4-1=3$$

og (se evt. multiplikation og division med brøker)

$$\frac{\left(\frac{10}{5}\right)}{2}=\frac{10}{5\cdot2}=1$$

$$\frac{10}{\left(\frac{5}{2}\right)}=\frac{10\cdot2}{5}=4.$$

Distributivitet

Den distributive lov handler om, hvordan man ganger ind i en parentes.
Den siger

$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c.$$

Her er et eksempel på den distributive lov:

$$2\cdot(3+4)=2\cdot7=14$$

$$2\cdot3+2\cdot4=6+8=14 $$

Vi kan samle regnearternes egenskaber i et skema

Egenskaber	Addition	Multiplikation
Slutenhed	a+b er et reelt tal	ab er et reelt tal
Associativitet	a+(b+c)=(a+b)+c	a(bc)=(ab)c
Kommutativitet	a+b=b+a	ab=ba
Distributivitet		a(b+c)=ab+ac
Invers-element	a+(-a)=0	a\(\cdot\)(1/a)=1
Neutral-element	a+0=a	a\(\cdot\)1=a

Videolektion