Anden ordens differentialligninger
Differentialligninger af typen \( y’’=g(x) \)
Denne form for differentialligning betegnes som en anden ordens differentialligning. Det betyder, at der er blevet differentieret af to omgange.
Først er den originale funktion blevet differentieret. Det giver os en afledt funktion. Denne afledte funktion bliver herefter differentieret. Den oprindelige funktion er altså blevet dobbeltdifferentieret.
For at finde frem til den oprindelige funktion skal vi altså gøre det omvendte af at differentiere af to omgange– nemlig at INTEGRERE af to omgange.
Vi har givet følgende differentialligning:
$$ y’’=g(x) $$
Da der er to ”mærker” ved y’et, betyder det, at den oprindelige funktion er differentieret to gange.
Vi lægger derfor ud med at integrere denne. Ud fra integralregnereglerne ved vi, at dette ender ud i:
$$y' = \int g(x) \,\mathrm{d}x = G(x)+k_1$$
Dette kan ses at være sandt, da den afledte af denne (den differentierede) er:
$$ (G(x)+k_1)’=g(x)=y'' $$
(jf. Regnereglen om, at konstanter differentierede er lig 0. Altså, \( k\, ’=0 \).)
Denne er altså nu integreret én gang. Vi integrerer nu endnu en gang for at komme frem til stamfunktionen:
$$y = \int G(x) +k_1 \, \mathrm{d}x = \int G(x) \mathrm{d}x+k_1 x +k_2$$
$$y = \int G(x)+k_1\, \mathrm{d}x = \int G(x) \mathrm{d}x+k_1 x+k_2$$
Vi kan tjekke, at det er korrekt ved at differentiere denne ligning. Differentieres den, så fås:
$$ (\int G(x) \mathrm{d}x+k_1 x+k_2)’=G(x)+k_1 $$
(jf. regnereglen \( (kx)’=k \) og \( k’=0 \)) Det ses, at denne ligning differentieret er den samme som vores førsteordensdifferentierede. Altså er dette også sandt, og vi har fundet løsningen på vores oprindelige førsteordens differentialligning.
Eksempel:
Vi kan for eksempel betragte differentialligningen \( y’’=3x^3 \)
Vi integrerer nu første gang og får derved:
$$ y’=3 \frac{1}{4} x^4 +k_1 $$
jf. regnereglen \( \int kx^a \, \mathrm{d}x = k \cdot \frac{1}{a+1}\, x^{(a+1)}\)
Vi integrerer nu endnu en gang:
$$ y = \int 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot x^4 + k_1 \, \mathrm{d}x = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} \cdot x^5 +k_1 x +k_2 = \frac{3}{20}\cdot x^5 + k_1x +k_2$$
Differentialligningen er således løst.