Baggrunden for Eulers tal, \(e\)
Eulers tal, \(e\), har værdien = 2,71828 (afrundet). Vi vil nu se på, hvorfor \(e\) har netop denne værdi.
Vi ønsker at finde frem til en funktion, \(f(x)\), hvorom det gælder, at \(f’(x) = f(x)\) – altså hvor den første afledede af funktionen er lig med funktionen selv. Hvis der findes en sådan funktion, vil det betyde, at grafens hældning og dermed tangentens hældning overalt på grafen er lig med den aktuelle funktionsværdi.
Vi gætter på, at funktionen er af typen \(f(x) = k^x\), hvor \(k\) er et eller andet tal.
For at bestemme \(f’(x)\) starter vi med at forestille os en sekant, der går gennem to punkter \((x, f(x))\) og \((x+h, f(x+h))\) på grafen for \(f(x)\), hvor \(h\) er en lille tilvækst til x-værdien, se figur 1.
Figur 1 Sekant gennem to punkter på grafen for \(f(x) = k^x\)
Vi opstiller herefter et udtryk for sekantens hældning, \(a_s\):
\(a_s = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(x+h) – f(x)}{(x+h) – x} = \dfrac{k^{x+h} – k^x}{h} \)
Dette udtryk kan vi omskrive med potensregneregler og ved at sætte \(k^x\) uden for parentes:
\(a_s = \dfrac{k^x\cdot k^h – k^x}{h} = k^x\cdot \dfrac{k^h – 1}{h} = f(x)\cdot \dfrac{k^h – 1}{h}\)
\(f’(x)\) bestemmer vi herefter som grænseværdien for \(a_s\), når \(h\) bliver uendelig lille, eller udtrykt matematisk:
\(f’(x) = \dfrac{dy}{dx} = \lim_{h\rightarrow 0} a_s = f(x)\cdot \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{k^h – 1}{h}\)
Hvis der findes et tal \(k\), hvorom det gælder, at \(\lim_{h\rightarrow 0} \frac{k^h – 1}{h} = 1\), har vi altså fundet en funktion, hvor \(f’(x) = f(x)\).
Frem for at arbejde med en betingelse i grænseværdiudtrykket om, at \(h\rightarrow 0\), vil vi i stedet arbejde med betingelsen \(n\rightarrow \infty\). Det kan vi opnå ved at indføre substitutionen \(h = \frac{1}{n}\), idet betingelsen \(n\rightarrow \infty\) er ensbetydende med, at \(h\rightarrow 0\), og grænseværdiudtrykket bliver dermed:
\(\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{k^h – 1}{h} = \lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{k^{\frac{1}{n}} – 1}{\frac{1}{n}} = 1 \implies k^{\frac{1}{n}} = 1 + \dfrac{1}{n}, n\rightarrow \infty\)
Idet \(k^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{k}\) og \((\sqrt[n]{k})^n = k\) kan vi omskrive ligningen ved at opløfte både venstresiden og højresiden til den \(n\)’te potens:
\((k^{\frac{1}{n}})^n = k = (1 + \frac{1}{n})^n = (1 + \frac{1}{n})\cdot (1 + \frac{1}{n})\cdot (1 + \frac{1}{n})\cdot ... ... \cdot (1 + \frac{1}{n})\)
hvor højresiden skal forstås som, at det er \(n\) paranteser \((1 + \frac{1}{n})\), der multipliceres, og \(n\rightarrow \infty\).
Vi forestiller os multiplikationen af parenteserne gennemført først med alle \(n\) 1-taller, derefter med \((n – 1)\) 1-taller og en brøk \(\frac{1}{n}\), så med \((n – 2)\) 1-taller og to brøker \(\frac{1}{n}\), osv. Hermed kan vi sammenfatte multiplikationen ved at benytte skrivemåden fra kombinatorikken med \(K_{n,i} = \dfrac{n!}{i!\cdot (n – i)!}\), hvilket fører til følgende udtryk:
\(k = 1 + K_{n,1}\cdot (\frac{1}{n}) + K_{n,2}\cdot (\frac{1}{n})^2 + K_{n,3}\cdot (\frac{1}{n})^3 + ... + K_{n,n-2}\cdot (\frac{1}{n})^{n-2}\)
\(+ K_{n,n-1}\cdot (\frac{1}{n})^{n-1} + (\frac{1}{n})^n\)
\(= 1 + \frac{1}{1!}\cdot \frac{n}{n} + \frac{1}{2!}\cdot \frac{n\cdot (n – 1)}{n^2} + \frac{1}{3!}\cdot \frac{n\cdot (n – 1)\cdot (n – 2)}{n^3}+ ... + \frac{1}{2!}\cdot \frac{n\cdot (n – 1)}{n^{n-2}} + \frac{1}{1!}\cdot \frac{n}{n^{n-1}} + \frac{1}{n^n}\)
De første mange brøker med \(n^i\) i nævneren vil hver især tilnærmelsesvis være lig med 1, når \(n\rightarrow \infty\). Grænseværdien for \(k\) bliver dermed, når vi lader \(n\rightarrow \infty\), 1 plus summen af den reciprokke værdi af alle naturlige tals fakulteter:
\(k = 1 + \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i!} = 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \dfrac{1}{4!} + \dfrac{1}{5!} + \dfrac{1}{6!} + osv.\)
\(= 1 + \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{120} + \dfrac{1}{720} + osv. \approx 2,71828\)
Vi har hermed bestemt den værdi af tallet \(k\) i funktionen \(f(x) = k^x\), der bevirker, at \(f’(x) = f(x)\). Vi benytter symbolet \(e\) for dette tal, som betegnes Eulers tal opkaldt efter den scweiziske matematiker og fysiker Leonhard Euler, som levede i 1700-tallet.
Funktionen, hvor den første afledede er lig med funktionen selv, er således \(f(x) = e^x\), der også i nogle sammenhænge skrives som \(f(x) = exp(x)\), se figur 2. Og lad os for en god ordens skyld repetere, at det betyder, at grafens hældning og dermed tangentens hældning overalt på grafen er lig med den aktuelle funktionsværdi.
Figur 2 Grafen for \(f(x) = e^x\)
Når den første afledede af funktionen \(f(x) = e^x\) er lig med funktionen selv, så er også alle de øvrige afledede af funktionen lig med funktionen selv, dvs. \(f’(x) = f’’(x) = f’’’(x) = osv. = e^x\).
Eulers tal er desuden grundtallet i den naturlige logaritme, \(\ln(x)\). Derudover er \(e^r\) grænseværdien for en rente, r, tilskrevet kontinuert. Hvis du har 1 krone i banken til renten \(r=1=100%\), der tilskrives kontinuert, så har du e1 = e kroner efter én termin.