Ligninger og uligheder
Ligninger
I en ligning indgår der typisk en ubekendt størrelse, der ofte bliver repræsenteret ved \(x\) eller et andet bogstav, f.eks.
$$x - 4 = 8 \qquad \qquad 3x + 2 = 25 \qquad \qquad -2x - 2 = 14$$
Den første ligning løses ved at finde ud af, hvad \(x\) skal være for at "venstre side" er lig med "højre side" - dvs. hvad skal \(x\) være, for at udtrykket giver \(8 = 8\)? De to andre ligninger løses på tilsvarende måde - det viser vi om lidt.
Der er nogle regler man skal huske, når man løser ligninger, og disse regler er følgende:
| Regel | |
| 1 | Man må lægge det samme tal til på hver side af lighedstegnet. |
| 2 | Man må trække det samme tal fra på hver side af lighedstegnet. |
| 3 | Man må multiplicere med det samme tal på hver side af lighedstegnet. |
| 4 | Man må dividere med det samme tal på hver side af lighedstegnet. |
| 5 | MAN MÅ ALDRIG DIVIDERE ELLER GANGE MED NUL |
Kun for regel 1 og 2:
Man må flytte et led fra én side af lighedstegnet til den anden side af lighedstegnet ved at skifte leddets fortegn.
Eksempler:
Vi prøver nu at løse ligningerne \(x - 4 = 8\), \(3x + 2 = 23\) og \(-2x - 2 = 14\):
Løsning til ligningen \(x - 4 = 8\):
$$\begin{align} x - 4 &= 8 \qquad \qquad&\textit{Først lægger vi 4 til på begge sider} \\ x - 4 + 4 &= 8 + 4 \qquad \qquad \qquad &\textit{Reducerer udtrykkene på begge sider} \\ x -\bcancel{ 4} + \bcancel{4} &= 12 \qquad \qquad \qquad &\textit{} \\ x &= 12 \qquad \qquad \qquad &\textit{Løsning} \end{align}$$
Løsningen til x - 4 = 8 er 12, fordi 12 - 4 = 8 er sandt, og vi siger at x = 12 opfylder ligningen.
Løsning til ligningen \(3x + 2 = 23\)
$$\begin{align} 3x + 2 &= 23 \qquad \qquad \qquad &\textit{Først trækker vi 2 fra på begge sider}\\ 3x + 2 - 2 &= 23 - 2 \qquad \qquad &\textit{Vi reducerer udtrykket på begge sider}\\ 3x + \bcancel{2} - \bcancel{2} &= 21 \\ 3x &= 21 \qquad \qquad \qquad &\textit{Vi dividerer med 3 på begge sider} \\ \frac{3x}{3} &= \frac{21}{3} \qquad \qquad \qquad &\textit{Vi reducerer udtrykkene på begge sider} \\\frac{\bcancel{3}x}{\bcancel{3}} &= 7 \\ x &= 7 \qquad \qquad \qquad &\textit{Løsning}\end{align}$$
Løsning til ligningen \(-2x -2 = 14\)
$$\begin{align} -2x - 2 &= 14 \qquad \qquad \qquad &\textit{Først lægger vi 2 til på begge sider} \\ -2x - 2 + 2 &= 14 + 2 \qquad \qquad &\textit{Reducerer udtrykkene på begge sider} \\ -2x - \bcancel{2} + \bcancel{2} &= 16 \\ -2x &= 16 \qquad \qquad \qquad &\textit{Vi dividerer med -2 på begge sider}\\ \frac{-2x}{-2} &= \frac{16}{-2} \qquad \qquad \qquad &\textit{Reducerer udtrykkene på begge sider} \\ \frac{\bcancel{-2}x}{\bcancel{-2}} &= -8 & \\ x & = -8 \qquad \qquad \qquad &\textit{Løsning}\end{align}$$
Uligheder
Vi har tidligere set på uligheder, og vi er stødt på fire forskellige ulighedssymboler. Lad os lige se på dem igen:
1) \(x>y\), der læses " \(x\) er større end \(y\)"
2) \(x<y\), der læses "\(x\) er mindre end \(y\)"
3) \(x≥y\), der læses "\(x\) er større end eller lig med \(y\)"
4) \(x≤y\), der læses "\(x\) er mindre end eller lig med \(y\)"
Symbolerne > og < kaldes for skarpe eller stærke ulighedstegn (man kan eksempelvis sige, at x er skarpt større end y), mens ≥ og ≤ kaldes for de svage ulighedstegn.
Når man løser uligheder, gælder der som udgangspunkt de samme 5 regler som ovenfor for løsning af ligninger. Det er dog vigtigt, at man er opmærksom på, hvilket tal man ganger eller dividerer med på begge sider af ulighedstegnet, da der gælder en særlig regel for uligheder, når man ganger eller dividerer med et NEGATIVT TAL.
Regler, der kun gælder for uligheder:
- Når du ganger med det samme negative tal på begge sider af ulighedstegnet, skal du vende ulighedstegnet.
- Når du dividerer med det samme negative tal på begge sider af ulighedstegnet, skal du vende ulighedstegnet.
Eksempel:
Vi løser følgende ulighed: 12x - 5 ≥ 17x + 45
$$\begin{align} 12x - 5 &\geq 17x + 45 \qquad &\textit{Lægger 5 til og trækker 17x fra på begge sider} \\ 12x - 17x &\geq 45 + 5 \qquad &\textit{Reducerer} \\ -5x &\geq 50 \qquad &\textit{Dividerer med -5 på begge sider og} \\ &\textit{ } \qquad &\textit{vender ulighedstegnet} \\x &\leq -10 \qquad \qquad &\textit{Løsning} \end{align}$$