Additionsformlerne

Før lommeregnerens tid, kunne det være besværligt at udregne værdier for de trigonometriske funktioner.

Et nyttigt redskab til at bestemme sådanne vinkler var additionsformlerne. Hvis man skal finde cosinus eller sinus til en vinkel, kan man splitte vinklen om til en sum af to vinkler, som man kender cosinus- og sinusværdierne for, og bruge dette til at bestemme cosinus- eller sinusværdien for denne vinkel.

Additionsformlerne er

$$\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$$

$$\cos(x-y)=\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)$$

$$\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\sin(y)\cos(x)$$

$$\sin(x-y)=\sin(x)\cos(y)-\sin(y)\cos(x)$$

$$\tan(x+y)=\frac{\tan(x)+\tan(y)}{1-\tan(x)\tan(y)}$$

$$\tan(x-y)=\frac{\tan(x)-\tan(y)}{1+\tan(x)\tan(y)}$$

Lad os se, hvordan vi kan anvende dem i praksis

Vi ønsker at beregne

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)= \, ???$$

Vi kan dele det op så

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\cos\left(\pi+\frac{\pi}{2}\right)$$

Nu kan vi bruge den øverste af de fire additionsformler

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\cos\left(\pi+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(\pi)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin(\pi)\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$$

Vi ved at

$$\cos(\pi)=-1, \ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, \ \sin(\pi)=0, \ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$$

(tjek selv værdierne efter ved at tegne vinklerne ind i enhedscirklen, og aflæs cos- og sinværdierne).

Nu er der bare tilbage at sætte ind

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\cos\left(\pi+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(\pi)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin(\pi)\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$$

$$=-1\cdot0-0\cdot1=0$$

Et andet eksempel er, at vi ønsker at beregne

$$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)= \, ???$$

Vi omskriver til

$$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)$$

Vi omskriver nu ved hjælp af den fjerde additionsformel

$$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=\sin(\pi)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos(\pi)$$

Vi husker at

$$\frac{\pi}{6}\text{ rad}=30^\circ$$

og derfor ved vi, at

$$\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}, \ \cos(\pi)=-1, \ \sin(\pi)=0\\$$

Nu er det bare at sætte ind i formlen

$$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=\sin(\pi)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos(\pi)$$

$$=0\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\cdot(-1)=\frac{1}{2}$$