Cosinus og sinus i haven
De fleste har lært om cosinus og sinus - men hvornår kan man bruge dem i virkeligheden? Når man lærer om det i skolen, regner man ofte på trekanter uden nogen sammenhæng til virkeligheden, og det kan være svært at gennemskue, om man nogensinde selv får brug for det i sin dagligdag. Vi har fundet et konkret eksempel frem på hvornår det er nyttigt at kunne regne med cosinus og sinus.
Hvor høj skal hækken være?
Du er lige flyttet ind i dit drømmehus - der er bare ét problem. Fra huset overfor, kan man kigge lige ind ad dit vindue fra deres første sal. Du beslutter dig derfor for at plante en hæk foran dit vindue, der er 2,5 meter høj - men hvor langt fra huset kan du stille hækken, så den stadig skærmer for udsigten?
Der er 15 meter fra dit hus til huset overfor. Det højeste punkt på dit vindue er 2 meter oppe, og det højeste punkt på naboens er 4 meter oppe. Hvis vi vil finde ud af, hvor langt fra huset vi kan stille hækken, må vi bruge cosinus og sinus. Der kan indtegnes en retvinklet trekant mellem højeste punkt på dit vindue, vinkelret hen på naboens hus, og til det højeste punkt på deres hus, som vist på tegningen:
Nu skal vi finde ud af, hvor langt vi kan gå ud fra dit hus, før trekantens højde overstiger 0,5 meter:
For at finde ud af det, skal vi beregne trekantens vinkler. Den store trekant mellem husene er ensvinklet med trekanten fra huset til hækken, og vinklerne beregnet for den store trekant vil derfor være de samme som i den lille. Det første vi gør, er at bruge Pythagoras til at bestemme hypotenusen i den store trekant:
$$ a^2 + b^2 = c^2 \Leftrightarrow c= \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{2^2+15^2} = 15{,}13 $$
Siden c i den store trekant er 15,13 meter lang. Når vi ved det, kan vi bruge cosinusrelationerne til at bestemme en af de ukendte vinkler i trekanten:
$$ \cos (A) = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \Leftrightarrow A =\cos^{-1} \bigg( \frac{15^2+15.13^2-2^2}{2\cdot 15 \cdot 15.13}\bigg) = 0{,}133 $$
Nu har vi en vinkel i radianer, som skal omregnes til grader. Det gør vi ved at gange med 180 og dividere med \( \pi \) :
$$ 0{,}133 \cdot \frac{180}{\pi} = 7{,}6^{\circ}. $$
Vinkel A er 7,6°. Ud fra dette kan vi bestemme den sidste vinkel i trekanten, da vi ved, at vinkelsummen i en trekant er 180°:
$$ 180-90-7{,}6 = 82{,}4^{\circ}. $$
Nu kender vi alle vinklerne, som er ens i den store og den lille trekant:
$$ A=7{,}6 ^{\circ} \quad B=82{,}4^{\circ} \quad C=90^{\circ}.$$
Det vi ønsker at bestemme, er siden b i den lille trekant, da det er afstanden mellem hækken og huset. Vi kan regne sidelængden ud, fordi vi kender vinklerne, og vi ved, at side a er 0,5 meter. Med sinusrelationerne kan vi nu bestemme siden b:
$$ \frac{a}{\sin (A)} = \frac{b}{\sin (B)} \Leftrightarrow b = \frac{a \cdot \sin (B)}{\sin (A)} = \frac{0{,}5\mathrm{m} \cdot \sin (82{,}4^{\circ}) }{\sin (7{,}6^{\circ})}= 3{,}75 \mathrm{m} $$
Det vil altså sige, at det længste du kan stille hækken fra dit hus, er 3 meter og 75 cm.