7. Hvor skal der sigtes?
Indholdet er under udarbejdelse
Vi har efterhånden nået Los Angeles kyst, men som vi nærmer os mærker vi at strømmen i vandet er ret stærk!
Det betyder, at hvis vi vender os én retning for at sejle mod et bestemt mål, så ender vi med reelt at sejle en anden retning (og med en anden hastighed) pga strømmen. Hvordan retter vi sejleretningen så vi stadig ender det samme sted, og hvad er vores nye hastighed?
Hvilken matematik kan hjælpe os?
I den her situation hvor to eller flere kræfter interagerer med hinanden kan det være en god ide at bruge vektorer.
Lad os tænke lidt over hvordan vi kunne repræsentere henholdsvis kræften fra skibets motor og kræften fra strømmen. Vi kunne prøve at beskrive det ifht vinkel og hastighed, og tegne det op som pile.
Forholdet mellem pilenes længde indikerer forholdet mellem de hastigheder de repræsenterer. Man kan her så at strømmen er halvt så stærk som motorens.
Ud fra billedet her er det umiddelbart ikke klart hvordan man skulle finde den endelige hastighed og retning ud fra de to tilsammen. Idéen med vektorer er at opdele sådan en hastighed i dens x-komponent og y-komponent, hvorefter det pludselig bliver langt mere tydeligt hvordan man lægger de to hastigheder sammen:
Vi kan altså bare lægge henholdsvis x-komponenterne og y-komponenterne sammen. x-komponentet af bådens hastighed er $2.59$ og x-komponentet af strømmens hastighed er $-0.51$, så den endelige hastighed ender med at have et x-komponent på $-0.51 + 2.59 = 2.08$. Samme gælder y, hvor det så bliver $1.50 + -1.40 = 0.1$. Som man kan se på billedet, så svarer det her visuelt til at lægge den ene vector for enden af den anden.
Når man plusser to tal med hinanden er rækkefølgen ligegyldig; $12 + 15$ er det samme som $15 + 12$. Det samme gælder vektorer! Vi kunne derfor også have lagt den røde vektor for enden af den blå i stedet:
Som vi kan se får vi et parallelogram her. Det kalder vi kræfternes parallelogram.
Vektorer gør det altså let at beskrive hastigheder i forskellige situationer.
Hvordan kan vi bruge det i vores situation?
Sig at vores skib starter ved den grønne cirkel ude i havet, og sigter efter den grønne cirkel inde ved kysten. Den blå pil indikerer strømmens retning. Strømmens kræft er halvt så stærk som motorens kræft. Hvor ender vi faktisk med at ankomme, når strømmen ændrer vores retning?
Lad os først bruge vores lineal til at tegne en linje fra start til mål, så vi kan se retningen af motorens kræft:
Vi ved, at motorens kræft er dobbelt så stærk som strømmen. Vi måler derfor længden af strømmens vektor til 2cm, og tegner motorens vektor til 4cm.
Vi skal nu ligge en kopi af motorens vektor for enden af strømmens vektor, altså, vi skal lægge de to hastigheder sammen. Vi måler ved hjælp af lineal at både x- og y-komponentet på motorens hastighed er $4$. Fra enden af strømmens vektor lægger rykker vi os derfor $4$ henad på $x$ og $4$ henad på $y$.
Vi har nu en vektor der beskriver vores endelige hastighed og retning. Den følger vi så bare indtil vi rammer kysten:
Din tur til at bruge vektorer!
Hvilken retning bør vi faktisk sigte mod for at vi ender i mål? Print følgende billede ud:
Skibet sejler med en hastighed der er dobbelt så stor som strømmens hastighed.
Hvilken en af de 5 blå punkter bør vi sigte mod for at vi faktisk ankommer i mål?
Hint: Du kan bruge en passer på en smart måde hvis du ikke gider til at tjekke alle punkter