7. Hvor skal der sigtes?

Indholdet er under udarbejdelse

Vi har efterhånden nået Los Angeles kyst, men som vi nærmer os mærker vi at strømmen i vandet er ret stærk!

Det betyder, at hvis vi vender os én retning for at sejle mod et bestemt mål, så ender vi med reelt at sejle en anden retning (og med en anden hastighed) pga strømmen. Hvordan retter vi sejleretningen så vi stadig ender det samme sted, og hvad er vores nye hastighed?

Hvilken matematik kan hjælpe os?

I den her situation hvor to eller flere kræfter interagerer med hinanden kan det være en god ide at bruge vektorer.

Lad os tænke lidt over hvordan vi kunne repræsentere henholdsvis kræften fra skibets motor og kræften fra strømmen. Vi kunne prøve at beskrive det ifht vinkel og afstand:

Ud fra billedet her er det umiddelbart ikke klart hvordan man skulle finde den endelige hastighed og retning ud fra de to tilsammen. Her kan det være en god ide at bruge vektorer i stedet, der illustrerer samme situation langt mere tydeligt:

En vektor er bare to tal der beskriver henholdsvis $x$- og $y$-komponentet af en kræft. Vi kan se at vi hvert sekund bevæger os 2.59 sømil pr sekund mod retning af x, og 1.5 sømil pr sekund mod retningen af y. Nu er det langt mere klart hvordan vi lægger kraften fra skibets motor og kraften fra strømmen sammen: Vi lægger bare henholdsvis $x$ og $y$ hastighederne sammen! Det er dejligt, da det visuelt bare svarer til at lægge den ene vektor for enden af den anden:

Her beskriver den lilla vektor altså den endelige retning og hastighed på vores skib.

Når man plusser to tal med hinanden er rækkefølgen ligegyldig; $12 + 15$ er det samme som $15 + 12$. Det samme gælder vektorer! Vi kunne derfor også have lagt den røde vektor for enden af den blå i stedet:

Som vi kan se får vi et parallelogram her. Det kalder vi kræfternes parallelogram.

Vektorer gør det altså let at beskrive kræfter i forskellige situationer.

Hvordan kan vi bruge det i vores situation?

Sig at vores skib starter ved den grønne cirkel ude i havet, og sigter efter den grønne cirkel inde ved kysten. Den blå pil indikerer strømmens retning. Strømmens kræft er halvt så stærk som motorens kræft. Hvor ender vi faktisk med at ankomme, når strømmen ændrer vores retning?

Lad os først bruge vores lineal til at tegne en linje fra start til mål, så vi kan se retningen af motorens kræft:



Vi ved, at motorens kræft er dobbelt så stærk som strømmen. Vi måler derfor længden af strømmens vektor til 2cm, og tegner motorens vektor til 4cm. 

Nu kan vi så ved hjælp af parallelforskydning ligge en kopi af motorens vektor for enden af strømmens vektor. Vektoren fra båden hen til denne position beskriver vores endelige retning og hastighed:

Vi kan nu bare følge denne retning indtil vi rammer kysten:

Din tur til at bruge vektorer!

Hvilken retning bør vi faktisk sigte mod for at vi ender i mål? Print følgende billede ud:

Hvilken en af de 5 blå punkter bør vi sigte mod for at vi faktisk ankommer i mål? 

Hint: Du kan bruge en passer på en smart måde hvis du ikke gider til at tjekke alle punkter