Ny udgave 7. Hvor skal der sigtes?

Indholdet er under udarbejdelse 

Du har efterhånden nået Los Angeles kyst, men som du nærmer dig, mærker du at strømmen i vandet er ret stærk! 

Strømmen betyder, at hvis du sigter direkte efter havnen, så ender du med at ramme kysten et andet sted. Hvordan ændrer du din sejlretning, så du ender i den rigtige havn?

Hvilken matematik kan hjælpe? 

Vi skal finde en måde at beskrive, hvordan skibets motorkraft og strømmens kraft påvirker hinanden. Vi kan dele begge kræfter op i 

  • retning
  • størrelse

Vi kan tegne en pil, der peger i den retning kraften virker. Hvis vi samtidig lader længden på pilen vise størrelsen på kraften, kan vi se pilene som vektorer.

Vektorer

Vektorer er et emne inden for matematik. Man kan regne med vektorer på flere måder. Her vil vi tegne skibets motorkraft og strømmens kraft som vektorer og vise, hvordan man lægger vektorer (pilene) sammen grafisk. Hvis du er interesseret i at lære mere om vektorer, kan du læse mere her.

OBS: Hvad skal den røde pil hedde? Hvordan viser vi at det sorte punkt er skibet? Skal vi skrive skib?

Jeg kan ikke få lov til at redigere i dit billede. Jeg vil foreslå strømmens kraft, skibets motorkraft og skib

Når vi beskriver skibets motors og strømmens kræfter med vektorer, viser længden på pilene størrelsen på kræfterne. På figuren ovenfor er skibets motorkraft altså mere end dobbelt så stor, som strømmens kraft, fordi den røde vektor er mere end dobbelt så lang som den blå vektor. 

At lægge vektorer sammen

Vi vil gerne lægge kræfterne fra strømmen og skibets motor sammen, så vi kan finde ud af, hvilken retning den sammenlagte kraft har. Den kraft kalder vi summen af kræfterne. 

Måden, vi lægger vektorer sammen på, er ved at parallelforskyde pilene, så de kommer i forlængelse af hinanden. Derefter kan vi tegne en ny pil, som går fra pilenes start-punkt til deres nye slut-punkt. Det ser f.eks. sådan her ud: Denne del ville jeg vente med

Jeg tror det er smartest at de parallelforskyder begge pile hver gang, for så er det meget tydeligere, hvor den nye retning er. Dvs. i første omgang blot vise forskydningen af begge vektorer. Og først bagefter vise, at man kan tegne summen af krafterne.. 

Så først en tegneserie, hvor begge forskydninger vises i samme sekvens. Krafternes parallelogram. 

Så et billede, hvor summen vises.

Når vi parallelforskyder en vektor, er det vigtigt, at den beholder samme retning og længde. En måde at gøre det på ses på figurerne nedenfor, hvor vi

  • tegner en retvinklet trekant med vektoren (her: den blå)
  • måler siderne i trekanten
  • tegner en tilsvarende trekant for enden af den anden vektor (her:  den røde)
  • tegner kopien af den oprindelige vektor
  • tegner den nye vektor (summen, den lilla) fra start-punkt til slut-punkt 

Vis måske den retvinklede trekant med stiplede linjer. De behøver jo ikke tegne den, blot tælle. 

Den lilla pil er den vektor, der svarer til de to andre vektorer lagt sammen (summen af de to). Ovenfor har vi parallelforskudt den blå vektor til enden af den røde vektor, men vi kunne også gøre det omvendt. 

Her har vi parallelforskudt den røde vektor til enden af den blå vektor. Læg mærke til, at den nye lilla vektor er den samme i de to tilfælde. Vi kan altså selv bestemme i hvilken rækkefølge, vi lægger de to vektorer sammen. 

Hvis vi tegner begge måder at lægge vektorer sammen på i samme figur, får vi et parallelogram. Det kalder vi kræfternes parallelogram. 

 

Hvordan kan vi bruge det i vores situation?

Vores skib er lige nu ved den grønne cirkel ude i havet. Vi sigter efter havnen. Den blå pil indikerer strømmens retning, og vi ved at strømmens kraft er halvt så stærk som skibets motorkraft. Vi kan som i eksemplet ovenfor lægge kræfterne sammen som vektorer, for at finde ud af, hvor vi faktisk ender med at ramme kysten, når strømmen ændrer vores retning.

Find kortet i din logbog og gør følgende... 

Lad os først bruge vores lineal til at tegne en linje fra skibet til havnen, så vi kan se retningen af skibets kræft:

Vi ved, at motorens kræft er dobbelt så stærk som strømmen. Vi måler derfor længden af strømmens vektor til 2cm, og tegner motorens vektor til 4cm. 


Vi skal nu ligge en kopi af motorens vektor for enden af strømmens vektor, altså, vi skal lægge de to hastigheder sammen. Vi måler ved hjælp af lineal at både x- og y-komponentet på motorens hastighed er $4$. Fra enden af strømmens vektor lægger rykker vi os derfor $4$ henad på $x$ og $4$ henad på $y$.

FIGUR: Op og hen, hen og op. Gør det samme. 

Vi har nu en vektor der beskriver vores endelige hastighed og retning. Den følger vi så bare indtil vi rammer kysten:

Nu er det din tur! 

Vi skal nu dreje skibet, så vi ender i havnen og ikke længere nede af kysten. Det betyder, at vi skal finde et sted at sigte mod, så vi ender i havnen. 

I din logbog er der et kort (som du også ser her), hvor der er angivet fem mulige steder at sigte mod. Du skal nu finde ud af, hvilket af de fem punkter, vi skal sigte mod for at ramme havnen.

Husk at skibets motorkraft er dobbelt så stor som strømmens kraft. 

Du kan bruge følgende spørgsmål, som hjælp til din undersøgelse. 

  1. Tegn en linje fra skibet til et af de mulige sigtepunkter.
  2. Tegn skibets motorkraft som en vektor i retning mod sigtepunktet. 
  3. Læg de to vektorer sammen og tegn den resulterende vektor. Resulterende?
  4. Følg den nye vektors retning. Hvor på kysten ender du? Rammer du havnen?