Monotoniforhold

At bestemme en funktions monotoniforhold svarer til at bestemme i hvilke intervaller, funktionen er voksende, og i hvilke, den er aftagende. Kender man monotoniforholdene, har man en idé om, hvordan grafen ser ud uden man behøver at tegne den. Differentialregning gør det meget lettere at bestemme monotoniforholdene.

Differentialkvotienten i et punkt er jo lig med tangentens hældning i det punkt, så derfor gælder der, at hvis differentialkvotienten er positiv i et punkt, vil tangenthældningen være positiv, og funktionen vil altså være voksende i det punkt. Hvis der er et interval, hvor differentialkvotienten er positiv i alle punkter, så må alle tangenthældningerne altså være positive, og funktionen er derfor voksende på hele intervallet. På samme måde vil et interval med negative differentialkvotienter give et interval, hvor funktionen aftager. Hvis differentialkvotienten er 0 i et interval, betyder det, at tangenthældningen er 0 (tangenten er vandret) og dermed er funktionen konstant på intervallet.

Lad os sammenfatte det

$$f'(x)>0\:\text{for alle}\:x\in[a,b]\quad\Rightarrow\quad f\:\text{voksende på}\:[a,b]$$

$$f'(x)<0\:\text{for alle}\:x\in[a,b]\quad\Rightarrow\quad f\:\text{aftagende på}\:[a,b]$$

$$f'(x)=0\:\text{for alle}\:x\in[a,b]\quad\Rightarrow\quad f\:\text{konstant på}\:[a,b]$$

Maksimum, minimum og vendetangent

Det første, man gør, når man skal bestemme monotoniforholdene for en funktion, er at differentiere funktionen og sætte den afledede lig med 0. Man løser altså ligningen

$$f'(x)=0 \ .$$

De x-værdier, der løser denne ligning, er dem, hvor tangenten er vandret. Der er tre muligheder for, hvad disse punkter kan være. De kan være makismumspunkter, minimumspunkter eller vendetangentspunkter.

Imellem to punkter, hvor \(f '\) er \(0\) er den enten positiv på hele intervallet eller negativ på hele intervallet. Hvis den skulle skifte mellem at være positiv og negativ ville den jo være nødt til at passere \(0\).

Altså kan vi undersøge, om \(f '\) er positiv eller negativ i intervallerne mellem nulpunkterne ved bare at vælge et tilfældigt punkt i intervallet og se på fortegnet af \(f '\) i dette punkt.

Hvis \(f '\) er positiv til venstre og negativ til højre for et nulpunkt, så er der tale om et maksimum.

Hvis \(f '\) er negativ til venstre og positiv til højre for et nulpunkt, er der tale om et minimum.

Hvis \(f '\) har samme fortegn til venstre og højre, er der tale om en vendetangent.

2-44

Eksempel

Vi ønsker at bestemme monotoniforholdene for funktionen

$$f(x)=-x^3-3x^2+2 \ .$$

\(f\) er en differentiabel funktion, så vi starter med at differentiere den

$$f'(x)=-3x^{3-1}-3\cdot2x^{2-1}+0=-3x^2-6x \ .$$

Nu ønsker vi at finde de x-værdier, hvor \(f '(x)\) er \(0\)

$$\begin{align}
0 &= f'(x) \Leftrightarrow\\
0 &= -3x^2-6x  \Leftrightarrow\\
0 &= -3x(x+2) \ .
\end{align}$$

Nulreglen giver nu, at løsningerne er

$$x=0\quad\vee \quad x=-2 \ .$$

I disse to punkter er tangenten altså vandret. Vi undersøger fortegnet for \( f' \) i intervallerne mellem dem. Det er nok bare at se på et vilkårligt tal i hvert interval.
Lad os starte med et tal mindre end \(-2\). F.eks. \(-3\)

$$f'(-3)=-3\cdot(-3)^2-6\cdot(-3)=-3\cdot9+6\cdot3=-27+18=-9<0 \ .$$

Altså kan vi slutte

$$x<-2\quad\Rightarrow\quad f'(x)<0 \ .$$

Dette kan vi også sige som

$$f\text{ aftager når } x<-2 \ .$$

Så undersøger vi fortegnet af \(f ' \) når x ligger mellem \(-2\) og \(0\). Vi tager et tilfældigt tal i intervallet. Det kunne f.eks. være \(-1\),

$$f'(-1)=-3\cdot(-1)^2-6\cdot(-1)=-3\cdot1+6=3>0 \ .$$

Altså kan vi slutte, at

$$x\in[-2,0]\quad\Rightarrow\quad f'(x)>0 \ .$$

Dette kan vi også sige som

$$f\text{ vokser når } x\in[-2;0] \ .$$

Endelig ser vi på intervallet, hvor x er større end 0. Vi vælger et tilfældigt tal i dette interval. Det kunne f.eks. være 1,

$$f'(1)=-3\cdot1^2-6\cdot1=-3-6=-9<0 \ .$$

Altså kan vi slutte, at

$$x>0\quad\Rightarrow\quad f'(x)<0 \ .$$

Dette kan vi også sige som

$$f\text{ aftager når } x>0 \ .$$

Monotonilinje

Vi kan tegne resultaterne ind i en monotonilinje.

Man tegner en tallinje. Ovenover den har man x, under den \(f '\) og \(f\).

Først tegner man de x-værdier ind, hvor \(f '(x)=0\). Man skriver derfor \(0\) ud for \(f '\) ved disse x-værdier. Dernæst indtegner man fortegnene for \(f '\) mellem disse værdier.
Til sidst tegner man pile alt efter, hvad det betyder for \(f\). Under et plus tegner man en pil der går opad mod højre og under et minus tegner man en pil, der går nedad mod højre. Når man har tegnet pilene kan man se, hvad der er lokale maksima og minima, og hvad der er vendetangenter. Her er monotonilinjen tegnet skridt for skridt for eksemplet herover.

2-45

Man skal altid afslutte med at konkludere, hvordan monotoniforholdene er. I dette tilfælde ville man skrive:

$$f\text{ er aftagende på intervallerne }]-\infty;-2] \text{ og }[0;\infty[$$

$$f\text{ er voksende på intervallet } [-2;0]$$

$$f\text{ har lokalt minimum i }(-2, f(-2)) \text{ og lokalt maksimum i }(0,f(0)).$$

Herunder er \(f\) tegnet, så man kan se, at det er det rigtige, man er nået frem til

2-46

Opsummering

For at opsummere er der følgende opskrift, man altid kan følge for at finde monotoniforholdene for en funktion.

  1. Differentier funktionen
  2. Løs ligningen \(f '(x)=0\)
  3. Bestem fortegnet for \(f '(x)\) mellem nulpunkterne.
  4. Tegn monotonilinje
  5. Konkluder med tekst

Videolektion

Har du et spørgsmål, du vil stille om Monotoniforhold? Skriv det i Webmatematiks forum!
Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!