Geometriske opgaver
Som klejnsmed arbejder man ofte med geometriske former og figurer. Derfor kan det være nyttigt, at have styr på nogle af de basale geometriske og trigonometriske formler. I videoen herunder fortæller Sofie om noget af det matematik hun bruger til daglig.
Pythagoras
Skal man fremstille et produkt, som indeholder retvinklede trekanter, er Pythagoras læresætning god at kunne. Det gælder både hvis man skal finde sidelængder eller vinkler. Pythagoras læresætning siger,
$$a^2+b^2=c^2$$
hvor a og b er kateterne og c er hypotenusen. Kender man to af de tre, så kan man nemt finde den ukendte sidelængde i trekanten. Den eneste betingelse er, at trekanten er retvinklet, altså at en af vinklerne er 90 grader.
En anden smart ting ved retvinklede trekanter er, at der gælder følgende forhold,
$$ \cos(v) = \frac{\text{hosliggende katete}}{\text{hypotenuse}} \\ \sin(v)=\frac{\text{modstående katete}}{\text{hypotenuse}} \\ \tan(v)=\frac{\text{modstående katete}}{\text{hosliggende katete}}$$
Dette betyder, at kender du to sidelængder eller en vinkel og en sidelængde, så kan du finde de resterende sidelængder og vinkler.
Cirkler
Det er ikke unormalt, at skulle fremstille noget, som indeholder ringe eller cylindre. Derfor er det nyttigt, at have styr på regnereglerne for cirklers omkreds og areal, samt rumfang og overfladeareal af cylindre.
Cirkel
$$ A = r^2\cdot \pi \\ O = d \cdot \pi$$
Hvor A er areal, r er radius, O er omkreds, d er diameter og \(\pi=3.14\). Hvis man skulle være i tvivl, så er radius den afstand, som er fra cirklens midtpunkt og ud til kanten. Diameteren er derfor det samme som \(2\cdot r\).
Cylinder
$$V = r^2\cdot \pi \cdot h $$
hvor V er rumfang og h er højden. Overfladearealet af en cylinder skal bestemmes ud fra om cylinderen har top og bund eller om det bare er et rør. Hvis det bare er et rør, kan overfladearealet findes som,
$$ O_A = d \cdot \pi \cdot h$$
Overfladen er simpelthen bare omkredsen ganget med højden. Skal man også bruge en top og en bund, bliver det samlede areal,
$$ O_A = 2 \cdot r^2 \cdot \pi +d \cdot \pi \cdot h$$
Her lægger man simpelthen bare arealet af bunden og toppen af cylinderen til.
Når man kender rumfanget eller arealet af det man skal fremstille, kan man få en bedre idé om hvor meget materiale man skal bruge og hvor dyrt det bliver.
Eksempel 1
Der skal skæres en retvinklet trekant ud af en plade metal. Målene på trekanten kan ses i figuren nedenfor.
Fordi trekanten er retvinklet, ved vi, at vinklen mellem a og b er 90 grader. Vi vil gerne finde vinklen mellem a og c. Vi benytter os af, at vi kender hypotenusen og den modstående katete til vinklen, nemlig b.
$$ \frac{9}{16.64}=0,54$$
Betyder det så, at vinklen er 0,54 grader? Eller måske 54 grader?
Svaret er ingen af delene. 0,54 er netop sinus til vinklen. Sinus og cosinus er nemlig altid værdier mellem -1 og 1. Vi skal altså regne baglæns, for at finde vinklen, og ikke sinus til vinklen. Her skal vi bruge den "omvendte" sinus, som man kalder arcsinus.
$$ \mathrm{arcsin}(0.54) = 32.7 \, \mathrm{grader}$$
Eksempel 2
En tank skal fremstilles til opbevaring af en væske. Tanken skal kunne rumme 1500L og skal være 2 meter høj. Hvilken radius skal tanken have?
Rumfanget er bestemt som
$$V=\pi \cdot r^2 \cdot h$$
Vi ved at \( V=1500L \) og \(h=2m\). Vi skal finde radius, som får rumfanget til at blive 1500L. Først skal vi huske, at vores enheder skal være i orden. Liter er en enhed for rumfang, og det forholder sig sådan, at én liter svarer til én kubikdecimeter. En kubikdecimeter( \(dm^3\) ) er en terning eller kasse, som er 10cm på alle leder. Der kan være 1000 kubikdecimeter (eller liter) i én kubikmeter ( \(m^3\) ).
Fra formlen der giver os rumfanget, der kan vi nu isolere radius, r. Det gør vi ved at dividere med \(\pi\) og højden, på begge sider af lighedstegnet.
$$ \frac{V}{\pi\cdot h} = \frac{\cancel{\pi} \cdot r^2 \cdot \cancel{h}}{\cancel{\pi}\cdot \cancel{h}} \Rightarrow \frac{V}{\pi\cdot h} = r^2$$
Nu står radius for sig selv, men den er stadig opløftet i anden potens. For at få radius stående alene, tager vi kvadratroden på begge sider af lighedstegnet, da kvadratrod og 2. potens går ud med hinanden,
$$\sqrt{\frac{V}{\pi\cdot h}} = r$$
Vi kan nu indsætte alle vores kendte tal, og finde radius af tanken.
$$ \sqrt{\frac{1.5m^3}{\pi\cdot 2m}} = 0,48m$$