Bakterievækst og hygiejne

Når man arbejder indenfor omsorg og sundhed, er det vigtigt at holde god hygiejne, for eksempel ved at vaske hænder ofte når man er i kontakt med mange mennesker, eller rører ved ting som mange andre har rørt ved. Bakterier kan formere sig rigtig hurtigt, og jo flere der er, desto hurtigere vokser bestanden. Det er ofte tilfældet at en bakteriekoloni vokser med den samme procentdel per tidsenhed, fx per time. Der er tre videoer på siden, der gennemgår det samme stof som i teksten.

Matematikken der bruges i artiklen er procentregning, potenser og arbejde med store tal.

En voksende bakteriekoloni

Vi forestiller os en bakteriekoloni, der vokser med 20% hver time. Til at starte med er der 5.000 bakterier. Hvordan finder vi ud af, hvor mange bakterier der er efter en time? Hvad med efter 2 timer, 3 timer, eller endnu flere timer?

Bakterier efter én time

Efter én time, vil bakteriekolonien være blevet 20% større, end den var til at starte med. Vi skal altså finde ud af, hvor meget 20% af startantallet er, og lægge det oveni. Det gør vi ved at gange startantallet med 0,2:

$$ 5000 \cdot 0,2 = 1000 $$

Dette antal lægges nu til startværdien:

$$ 5000 + 1000 = 6000 $$

Der vil altså være 6.000 bakterier efter en time. Man kunne også have gjort det hele i ét step. Vi kunne have ganget startantallet med 1,2, i stedet for først at gange med 0,2 og så lægge det oveni. Gør vi det, får vi samme resultat:

$$ 5000 \cdot 1,2 = 6000 $$

Se videoen, hvor der også gennemgås, hvordan man finder antallet af bakterier efter en time.

Bakterier efter flere timer

Nu har vi fundet ud af, hvor mange bakterier der er, når der er gået én time. Det resultat kan vi bygge videre på, for at finde ud af, hvor mange bakterier der er efter to timer. Nu skal resultatet fra før ganges med 1,2 igen, for at finde ud af hvor mange der er, efter yderligere én time:

$$ 5000 \cdot 1,2 \cdot 1,2 = 6000 \cdot 1,2 = 7200 $$

Efter to timer er der altså 7.200 bakterier.

Sådan kan man fortsætte time for time. Men vi lægger mærke til, at startantallet hver gang skal ganges med 1,2 endnu en gang, efter tre timer har vi:

$$ 5000 \cdot 1,2 \cdot 1,2 \cdot 1,2 = 8640 $$

En kortere måde at skrive \( 1,2 \cdot 1,2 \cdot 1,2 \) er \(1,2^3 \). Nu kan vi beregne antallet af bakterier efter tre timer på denne måde:

$$ 5000 \cdot 1,2^3 = 8640 $$

Og det samme kan vi gøre for fire timer med \(1,2^4 \) osv. Vi har nu en formel, der kan bruges til at bestemme antallet af bakterier, efter et antal timer n:

$$ \text{Bakterier efter n timer} = 5000 \cdot 1,2^n $$

I videoen bliver det også gennemgået, hvordan man finder antallet af bakterier, efter flere timer.

Generel formel for bakterieudvikling

Vi kunne også have haft et andet startantal end 5.000 eller en anden vækstrate end 20%. Hvis vi kalder snartantallet N, og vækstraten r, kan vi skrive formlen op således:

$$ \text{Bakterier efter n timer} = N \cdot (1+r)^n $$

Her skal man huske at omskrive vækstraten til decimaltal, fx bliver 20% til 0,2. Nedenfor ses en video, hvor den generelle formel bliver gennemgået: