Ligninger

En ligning er et udtryk, der indeholder et lighedstegn. F.eks. er

$$5x+3=48,\quad 54-2x=6,\quad x+45=3x$$

ligninger.

Ligninger vil typisk indeholde en ubekendt, som vi kalder \(x\). At løse ligningen svarer til at finde ud af, hvad \(x\) skal være, for at der står det samme på højre og venstre side af lighedstegnet. I det første eksempel ovenfor er løsningen

$$x=9$$

fordi

$$5\cdot9+3=45+3=48$$

Løsning af ligninger

Når vi skal løse ligninger, kan det være rart at bruge nogle tricks til at nå frem til det rigtige svar. Den metode, vi bruger hedder "ensbetydende ligninger". Det går simpelthen ud på at omforme den ligning, vi har stillet, samtidig med vi sørger for, at løsningerne til den omformede ligning er de samme som til den oprindelige.

Når vi omformer ligninger, er det tilladt at lægge tal til eller trække tal fra, så længe man gør det på begge sider af lighedstegnet.

$$\mathrm{Hvis}\quad5x+3=48\quad \mathrm{så} \ \mathrm{er} \quad 5x+3-3=48-3$$

$$\mathrm{dvs.}\ \mathrm{så} \ \mathrm{er}\quad 5x=45$$

Vi har her trukket 3 fra på begge sider af lighedstegnet. Løsningen er stadig x=9. Det er også tilladt at gange eller dividere med et tal på begge sider af lighedstegnet. Dog må man hverken gange eller dividere med 0.

$$\mathrm{Hvis}\quad3x=39\quad \mathrm{så} \ \mathrm{er}\quad \frac{3x}{3}=\frac{39}{3}$$

$$\mathrm{dvs.} \ \mathrm{så} \ \mathrm{er}\quad x=13$$

Mange ligninger kan vi løse udelukkende ved hjælp af disse simple omformningsregler.

$$\begin{array}{rcl}
3x+4 & = & x+3 \Leftrightarrow\\
3x+4-4 & = & x+3-4 \Leftrightarrow\\
3x-x & = & x-1-x \Leftrightarrow\\
2x & = & -1 \Leftrightarrow\\
\frac{2x}{2} & = & \frac{-1}{2} \Leftrightarrow\\
x & = & -\frac{1}{2}.
\end{array}$$

Ligninger af højere grad

De ligninger, vi har set ovenfor, kaldes førstegradsligninger, fordi der ikke optræder nogen potenser af \(x\). Graden af en ligning svarer til den højeste eksponent af x. F.eks. er

$$x^4=81$$

en fjerdegradsligning, og

$$2x^3-7=9$$

er en tredjegradsligning.

$$x^2+3x=0$$

er en andengradsligning. Ligningen indeholder både et førstegradsled (2\(x\)) og et andengradsled (\(x^2\)), men så er det den højeste eksponent, der bestemmer hvilken grad, ligningen har.


Videolektion

Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!