To ligninger med to ubekendte
Ligninger bruges tit til at løse problemer fra virkeligheden, og her indgår der tit flere ubekendte end bare en. Forestil dig en slikbutik, hvor du får at vide, at hvis du køber 3 slikkepinde og 4 slikposer, bliver det 35 kr, og hvis du i stedet køber 4 slikkepinde og 2 slikposer, så bliver det 20 kr. Hvordan finder vi frem til, hvad prisen er på en slikkepind? Og på en slikpose? Vi har her to ubekendte (prisen på en slikkepind (\(x\)) og prisen på en slikpose (\(y\))). Vi kan stille oplysningerne op som to ligninger
$$\begin{array}{rcl}
3x+4y & = & 35 \\
4x+2y & = & 20.
\end{array}$$
Der findes et væld af metoder til at løse to ligninger med to ubekendte. Vi vil her gennemgå tre af de vigtigste.
Substitution
Substitutionsmetoden går ud på at isolere en af de ubekendte i en af ligningerne. Derpå kan man sætte dette udtryk ind i den anden ligning, og så har man kun en ubekendt tilbage. Lad os prøve at bruge metoden på ligningerne ovenfor. Vi tager udgangspunkt i den første ligning og isolerer \(y\).
$$\begin{array}{rcl}
3x+4y & = & 35 \Leftrightarrow\\
4y & = & 35-3x\Leftrightarrow\\
y & = & \frac{35-3x}{4}.
\end{array}$$
Nu kan vi sætte dette udtryk for \(y\) ind i den anden ligning
$$\begin{array}{rcl}
4x+2y & = & 20 \Leftrightarrow\\
4x+2\cdot\left(\frac{35-3x}{4} \right) & = & 20.
\end{array}$$
Nu er der kun én ubekendt tilbage (\(x\)), og vi løser ligningen på almindelig vis
$$\begin{array}{rcl}
4x+2\cdot\left (\frac{35-3x}{4} \right ) & = & 20 \Leftrightarrow\\
4x+\frac{70-6x}{4} & = & 20 \Leftrightarrow\\
4x+\frac{70}{4}-\frac{6x}{4} & = & 20 \Leftrightarrow\\
\frac{5}{2}x+\frac{35}{2} & = & 20 \Leftrightarrow\\
\frac{5}{2}x & = & 20-\frac{35}{2} \Leftrightarrow\\
\frac{5}{2}x & = & \frac{5}{2} \Leftrightarrow\\
x & = & 1.
\end{array}$$
Nu ved vi, at \(x\) skal være 1. Dvs at prisen på en slikkepind er 1 kr. Men vi mangler stadig at finde prisen på en slikpose. Heldigvis fandt vi jo tidligere frem til et udtryk for \(y\), hvor vi nu kan indsætte vores værdi for \(x\)
$$\begin{array}{rcl}
y & = & \frac{35-3x}{4} \Leftrightarrow\\
y & = & \frac{35-3\cdot1}{4} \Leftrightarrow\\
y & = & \frac{32}{4} \Leftrightarrow\\
y & = & 8.
\end{array}$$
Altså er prisen på en slikpose er 8 kr. Vi kan prøve at sætte \(x=1\) og \(y=8\) i vores oprindelige ligninger for at tjekke, om det er det rigtige svar
$$3x+4y=3\cdot1+4\cdot8=3+32=35$$
$$4x+2y=4\cdot1+2\cdot8=4+16=20,$$
og det er det heldigvis.
Lige store koefficienters metode
Koefficienterne er de tal, der står foran \(x\)'erne og \(y\)'erne i en ligning. I denne metode omformer vi de to ligninger, så koefficienterne foran en af de to variable er ens. Derefter lægger vi de to ligninger sammen eller trækker dem fra hinanden. På den måde forsvinder den ene variable, og vi står tilbage med en almindelig ligning. Lad os prøve med eksemplet ovenfor.
$$3x+4y=35$$
$$4x+2y=20$$
Vi ganger den nederste ligning med 2 (det vil sige ganger med 2 på begge sider af lighedstegnet) for at opnå 4 som koefficient foran y.
$$\begin{array}{rcl}
2\cdot(4x+2y) & = & 2\cdot20 \Leftrightarrow\\
8x+4y & = & 40.
\end{array}$$
Nu har vi de to ligninger:
$$3x+4y=35$$
$$8x+4y=40$$
Vi ser, at y har koefficienten 4 i begge ligninger. Nu trækker vi dem fra hinanden.
$$(3x+4y)-(8x+4y)=35-40$$
Og ved at reducere lidt får vi
$$\begin{array}{rcl}
3x + 4y-8x-4y & = & 35-40 \Leftrightarrow\\
3x-8x & = & -5 \Leftrightarrow\\
-5x & = & -5 \Leftrightarrow\\
x & = & 1.
\end{array}$$
Igen nåede vi altså frem til, at prisen på en slikkepind er 1 kr. Nu finder vi \(y\) (prisen på en slikpose) ved at sætte vores x-værdi ind i en af de to oprindelige ligninger; vi bestemmer helt selv hvilken, fordi det ALTID vil give samme resultat. Vi tager den første
$$\begin{array}{rcl}
3x+4y & = & 35 \Leftrightarrow\\
3\cdot1+4y & = & 35 \Leftrightarrow\\
4y & = & 35-3 \Leftrightarrow\\
y & = & \frac{32}{4} = 8
\end{array}$$
og så har vi fundet frem til, at prisen på en slikpose er 8 kr.
Determinant-metoden
Determinant-metoden er i realiteten det samme som "lige store koefficienters" metoden, men vi vil her stille ligningerne op i en bestemt orden og i en bestemt rækkefølge. I modsætning til de to foregående metoder vil vi her starte med to generelle ligninger da det illustrerer metoden bedre.
Vi starter med at opskrive de to generelle ligninger med to ubekendte \(x\) og \(y\)
$$\begin{align}
a_1 x + b_1 y & = c_1 \\
a_2 x + b_2 y & = c_2.
\end{align}$$
Her er \(a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2\) konstanter som vi i princippet kender, da vi får dem opgivet i det konkrete eksempel. Hvis vi f.eks. ser på eksemplet ovenfor med slikkepinde og slikposer så kan vi identificere disse konstanter således
$$\begin{array}{rcl}
\overbrace{3}^{a_1}x+\overbrace{4}^{b_1}y & = & \overbrace{35}^{c_1} \\
\underbrace{4}_{a_2}x+\underbrace{2}_{b_2}y & = & \underbrace{20}_{c_2} \ .
\end{array}$$
Hvis vi så benytter fremgangsmetoden fra "lige store koefficienters" metoden kan vi gange alle led i den første ligning med \(a_2\) samt alle led i den anden ligning med \(a_1\) hvorved vi får følgende to ligninger (hvor vi også har samlet \(x\)'erne alene på venstre side og resten på højre side af lighedstegnet)
$$\begin{align}
a_1a_2 x & = a_2c_1 - a_2b_1 y \\
a_1a_2 x & = a_1c_2 - a_1b_2 y.
\end{align}$$
Nu kan vi se, at de to ligningers venstreside er ens, hvilket vil sige at højresiden af de to ligninger er lig det samme. Vi kan derfor sætte højresiden af den øverste ligning lig med højresiden af den nederste ligning hvorved vi får ligningen
$$\begin{align}
a_2c_1 - a_2b_1 y & = a_1c_2 - a_1b_2 y.
\end{align}$$
Vi kan nu samle alle leddene hvor \(y\) indgår på venstre siden og resten på højresiden
$$\begin{align}
a_1b_2 y - a_2b_1 y & =a_1c_2 - a_2c_1 .
\end{align}$$
Så kan vi sætte \(y\) udenfor en parentes
$$\begin{align}
y(a_1b_2 - a_2b_1) & = a_1c_2 - a_2c_1 ,
\end{align}$$
og så dele med parentesen på begge sider af lighedstegnet hvorved vi får følgende udtryk for \(y\)
$$\begin{align}
y & = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1} .
\end{align}$$
Vi kan nu gennemgå samme beregninger for \(x\), hvor vi i stedet for at gange ligningerne med hhv. \(a_1\) og \(a_2\) skulle gange med hhv. \(b_1\) og \(b_2\). Gøres dette får man følgende udtryk for \(x\)
$$\begin{align}
x & = \frac{b_2c_1 - b_1c_2}{a_1b_2 - a_2b_1} .
\end{align}$$
Vi vil nu indføre to nye begreber; matrix og determinant. En matrix skrives matematisk som
$$
\begin{bmatrix}
a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2
\end{bmatrix}
$$
og består af to rækker (der indeholder hhv. \(a_1\) og \(b_1\) samt \(a_2\) og \(b_2\)) og to søjler (der indeholder hhv. \(a_1\) og \(a_2\) samt \(b_1\) og \(b_2\)). Determinanten af en matrix betegner vi med bogstavet \(D\) og den beregnes på følgende måde
$$\begin{align}
D & = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1.
\end{align}$$
Bemærk at den firkantede parentes der før omsluttede vores matrix blev ændret til to lodrette streger. Dette er en ofte brugt metode til at visualisere om man taler om en matrix eller om determinanten af en matrix. Bemærk desuden at måden hvorpå vi beregnede determinanten af en matrix med 2 søjler og 2 rækker var ved at tage øverste venstre indgang (\(a_1\)) og gange med nederste højre indgang (\(b_2\)) hvorefter vi trækker nederste venstre indgang (\(a_2\)) ganget med øverste højre indgang (\(b_1\)) fra.
\(\hspace{10pt}\) Betrager vi nu vores udtryk for \(x\) og \(y\) kan vi identificere determinanten \(D\) beregnet ovenfor som nævneren i begge udtryk. Vi er desuden i stand til at konstruere to nye matricer \(D_x\) og \(D_y\) på følgende måde
$$\begin{align}
D_x & = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1b_2 - c_2b_1\\[0.5em]
D_y & = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1c_2 - a_2c_1
\end{align}$$
hvor vi kan identificere \(D_x\) som tælleren i udtrykket for \(x\) samt \(D_y\) som tælleren i \(y\). Til sidst kan vi nu opskrive udtrykkene for \(x\) og \(y\) på følgende lette og overskuelige måde vha. ovenstående 3 determinanter
$$\begin{align}
x = \frac{D_x}{D} \quad , \quad y = \frac{D_y}{D}.
\end{align}$$
Eksempel
Nu da vi har fået etableret teorien for determinant-metoden kan vi tage udgangspunkt i eksemplet med at udregne stykprisen for slikkepinde og slikposer brugt i de to foregående metoder.
Vi har som sagt ligningssystemet
$$\begin{align}
3x+4y & = 35 \\
4x+2y & = 20
\end{align}$$
hvor vi i udledningen af metoden identificerede de forskellige konstanter. Vi kan derfor opskrive de tre determinant-udtryk som følgende
$$\begin{align}
D & = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 3\cdot2 - 4\cdot4 = -10 \\[0.5em]
D_x & = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 35 & 4 \\ 20 & 2 \end{vmatrix} = 35\cdot2 - 20\cdot4 = -10 \\[0.5em]
D_y & = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 35 \\ 4 & 20 \end{vmatrix} = 3\cdot20 - 4\cdot35 = -80.
\end{align}$$
Nu kan vi beregne værdierne for \(x\) og \(y\) der løser ligningssystemet til
$$\begin{align}
x & = \frac{D_x}{D} = \frac{-10}{-10} = 1 \\[0.5em]
y & = \frac{D_y}{D} = \frac{-80}{-10} = 8,
\end{align}$$
hvilket er præcis den samme løsning som de to andre metoder gav.