Negative tal
De negative tal er de tal, der er mindre end nul.
På en tallinje er de negative tal placeret til venstre for 0. Der er visse ting, vi må huske på, når vi regner med negative tal. Når vi lægger noget til (adderer, +), bevæger vi os til højre på tallinjen, og når vi trækker noget fra (subtraherer, -), bevæger vi os til venstre.
Det er præcis ligesom et termometer. Hvis det er frostvejr og temperaturen falder (det bliver endnu koldere), så øges antallet af negative grader eftersom vi kommer længere ned på skalaen, og hvis temperaturen stiger (det bliver varmere) så øges graderne, og vi får færre negative grader.
Hvis det f.eks. fryser 4 grader, og temperaturen falder med yderligere 3 grader, så får vi
$$-4°C-3°C=-7°C$$
og hvis temperaturen i stedet var steget 3 grader, ville vi have fået
$$-4°C+3°C=-1°C$$
Addition og subtraktion
At addere(lægge til, +) to tal er det samme som at se, hvor meget de er tilsammen. Et negativt tal er dog under nul, så det svarer til gæld. Hvis du f.eks. har 10 kr. i din pung, men du skylder 7 kr. væk, så har du kun 3 kr. til dig selv. Matematisk ville vi skrive det således:
$$10+(-7)=10-7=3$$
At lægge -7 til er altså det samme som at trække 7 fra.
At subtrahere(trække fra, -) et tal fra et andet er at se hvor stor forskel/differens, der er på de to tal. Hvis man passerer nul bliver afstanden selvfølgelig større. Hvis et fly befinder sig i 150 meters højde, og flyver over en sø, der er 50 meter dyb, så er afstanden fra flyet til søbunden 200 meter. Matematisk ser det således ud.
$$150-(-50)=150+50=200$$
At trække -50 fra er altså det samme som at lægge 50 til.
Når vi ophæver parentesen skal vi altså skifte fortegn, hvis der står et minus foran, og lade fortegnene være, hvis der står et plus foran.
Generelt kan vi skrive det således:
$$
a+(-b) = a-b \\
a-(-b) = a+b\\
a-(b+c) = a-b-c
$$
Multiplikation og division
Når vi ganger og dividerer, må vi også tage hensyn til fortegn.
Hvis du har lånt 5 kr. af hver af dine 3 venner, hvor mange penge skylder du så væk? 15 kr.
$$(-5)\cdot3=-15$$
Hvis man ganger et positivt og et negativt tal, bliver resultatet altså negativt.
$$(-a)\cdot b=-ab$$
Men hvad så, hvis vi skal gange to negative tal?
Lad os starte med et eksempel. Forestil dig, du er på en effektiv slankekur, hvor du taber dig 4 kg om måneden (-4 kg/md). Efter noget tid tænker du tilbage og spørger, hvor meget mere du vejede for 3 måneder siden (-3md)? Svaret er selvfølgelig, at du vejede 12 kg mere 3 måneder forinden. Dette kan vi skrive matematisk på denne måde:
$$(-4)\frac{\text{kg}}{\text{md}}\cdot (-3)\text{md}=12\text{kg}$$
Når vi ganger to negative tal, får vi altså noget positivt ud af det. Mere generelt kan vi skrive det således:
$$(-a)\cdot(-b)=ab$$
Huskeregel
Hvis man ganger mange tal sammen er en god huskeregel, at hvis der er et lige (0, 2, 4, 6,...) antal negative tal, så bliver svaret positivt, og hvis der er et ulige (1, 3, 5, 7, …) antal negative tal, så bliver svaret negativt.
Generelt kan man sige, at minus gange minus giver plus.
Eksempel: Hvis man har et regnestykke med fem negative tal, fx \(-1 \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot (-4) \cdot (-5)\), kan man dele regnestykket op: Først ganges -1 og -2 sammen. Da det er "minus gange minus", giver det et positivt tal, nemlig \(2\). Derefter ganges \(-3\) og \(-4\) sammen, og igen giver de to negative tal ganget sammen et positivt tal, nemlig \(12\). Så kan vi gange de to positive tal sammen: \(2 \cdot 12=24\). \(24\) skal derefter ganges med det negative tal, \(-5\), og svaret bliver \(24 \cdot (-5)=-120\). Fortegnet ender derfor med at være negativt, fordi man ender med at gange et negativt og et positivt tal sammen.
Nu ser vi lidt nærmere på division. En måde at tjekke efter, om man har divideret rigtigt, er, at gange nævneren med kvotienten og se om man får tælleren. Eksempelvis
$$\frac{12}{3}=4\quad \text{fordi}\quad 3\cdot4=12$$
Hvad vil der så ske, hvis vi dividerer 2 negative tal?
$$\frac{-12}{-3}=\: ?$$
Vi skal gange (-3) med 4 for at få (-12), så svaret er 4
$$\frac{-12}{-3}=4\quad \text{fordi}\quad (-3)\cdot4=(-12)$$
Generelt kan vi skrive
$$\frac{-a}{-b}=c$$
Hvordan ser divisionen ud, hvis vi har et positivt og et negativt tal?
$$\frac{-12}{3}=\: ?$$
Vi skal gange 3 med (-4) for at få (-12). Derfor er svaret (-4)
$$\frac{-12}{3}=-4\quad \text{fordi} \quad 3\cdot(-4)=(-12)$$
Og det samme resultat ville vi få, hvis nævneren var negativ.
$$\frac{12}{-3}=-4\quad \text{fordi} \quad (-3)\cdot(-4)=12$$
Generelt kan vi skrive
$$\frac{-a}{b}=-c\;\mathrm{og}\; \frac{a}{-b}=-c$$
Oversigt
$$a+(-b)=a-b$$
$$a-(-b)=a+b$$
$$a-(b+c)=a-b-c$$
$$(-a)\cdot b=-ab$$
$$(-a)\cdot(-b)=ab $$
$$\frac{-a}{-b}=c $$
$$\frac{-a}{b}=-c $$
$$\frac{a}{-b}=-c$$