Uligheder
Når man løser ligninger, har man en venstreside og en højreside, og imellem dem er placeret et lighedstegn, =. Når vi skal løse uligheder, er der fire forskellig ulighedstegn, vi skal holde styr på.
\( x\leq y \) "\(x\) er mindre end eller lig med \(y\)"
\( x\geq y \) "\(x\) er større end eller lig med \(y\)"
\( x < y \) "\(x\) er mindre end \(y\)"
\( x > y \) "\(x\) er større end \(y\)"
Hvis man er i tvivl om, hvad der betyder hvad, så kan man se ulighedstegnet som en krokodillemund, der altid vil spise den største værdi.
En ulighed består af en venstreside, en højreside og et af de fire ulighedstegn imellem.
Regneregler for uligheder
Når man skal løse en ulighed, så må man lægge til eller trække fra på begge sider af ulighedstegnet.
$$x+5<8\quad\Leftrightarrow\quad x<8-5\quad\Leftrightarrow\quad x<3$$
Man må også godt gange eller dividere med et positivt tal.
$$4x\geq100\quad\Leftrightarrow\quad x\geq\frac{100}{4}\quad\Leftrightarrow\quad x\geq25$$
Hvis man vil gange eller dividere med et negativt tal, så skal man vende ulighedstegnet om.
$$-5x>35\quad\Leftrightarrow\quad x<\frac{35}{-5}\quad\Leftrightarrow\quad x<-7$$
Når man løser uligheder, kan man ikke uden videre gange eller dividere med en ubekendt (f.eks. x). Man ved nemlig ikke, om den er positiv eller negativ, og derfor ved man ikke, om man skal vende ulighedstegnet eller ej.
Ulighedstegn og intervaller
Der er en sammenhæng mellem, om man bruger svagt eller skarpt ulighedstegn, og om man har med åbne eller lukkede intervaller at gøre.
$$\begin{array}{rcl}
2<x<4\quad & \Leftrightarrow & \quad x\in]2;4[\\
2\leq x\leq4\quad & \Leftrightarrow & \quad x\in[2;4]\\
x>8\quad & \Leftrightarrow & \quad x\in ]8;\infty[\\
x\geq5\quad & \Leftrightarrow & \quad x\in[5;\infty[.
\end{array}$$
Her er et par eksempler på løsning af uligheder.
$$3x+17<5x-8$$
Først rykker vi x'erne hen på venstresiden og tallene hen på højresiden. Da vi bare lægger til og trækker fra, skal vi ikke vende ulighedstegnet
$$\begin{array}{rcl}
3x-5x & < & -8-17 \Leftrightarrow\\
-2x & < & -25.
\end{array}$$
Nu dividerer vi med -2 på begge sider. Da -2 er negativt, betyder det, at vi skal vende ulighedstegnet
$$x>\frac{25}{2}=12,5.$$
Nu er uligheden løst. Man kan også skrive løsningen som
$$x\in\left]\frac{25}{2};\infty\right[.$$
En anden ulighed er
$$15x<10x^2$$
Selvom, der står \(x\)'er på begge sider, kan vi ikke dividere med x, da vi ikke ved om \(x\) er positivt eller negativt (eller evt. 0).
Derfor starter vi med at trække \(10x^2\) fra på begge sider
$$15x-10x^2<0$$
Nu sætter vi \(10x\) udenfor en parentes
$$10x\cdot(1,5-x)<0$$
Nu har vi et produkt, der skal være negativt. Det betyder, at faktorerne skal have forskellige fortegn.
Lad os undersøge for hvilke x-værdier dette gælder.
Når \(x<0\), så er \(10x\) negativ, mens \(1,5-x\) er positiv. Derfor er deres produkt negativt.
Når \(x=0\), så er \(10x=0\) og så er produktet 0
Når \(0<x<1,5\) er \(10x\) positiv, og \(1,5-x\) er også positiv. Derved er deres produkt positivt.
Når \(x=1,5\) er \(1,5-x=0\), og derved er produktet 0.
Når \(x>1,5\) er \(10x\) positiv og \(1,5-x\) er negativ. Derved er deres produkt negativt.
Svaret er de \(x\)-værdier, der giver et negativt produkt. Vi kan skrive det op på følgende måder:
$$x<0\quad\vee\quad x>1,5 \quad \Leftrightarrow \quad x\in]-\infty;0[\:\cup\:]1,5;\infty[.$$