Gældsannuitet

Gældsannuitets-formlen bruges, når man regner på situationer, hvor man for eksempel har taget et lån med renter, der skal betales tilbage over et vist antal terminer. Formlen ser således ud:

$$ G=y \cdot \frac{1-(1+r)^{-n}}{r} $$

Der indgår fire størrelser i denne formel, G, r, y og n. Derfor kaldes formlen også Gryn-formlen. G er lånets samlede beløb, r er renten hvormed lånet vokser, y er det beløb du afdrager hver termin, og n er antal terminer. Vi vil nu gennemgå eksempler på, hvordan man finder hver af de fire størrelser, når man kender de tre andre.

Vi ønsker at finde G

Du vil gerne optage et lån (eller købe en eller anden ting på afbetaling). Lånet skal afdrages over 12 terminer, og terminsrenten er 1,7 %. Du har kun råd til at afdrage 2000 kr. hver termin. Hvor stort et lån (eller hvor dyr en ting) har du råd til at optage?

Vi opskriver formlen og indsætter de kendte størrelser:

$$ G=y \cdot \frac{1-(1+r)^{-n}}{r} $$

$$ G=2000 \cdot \frac{1-(1+0,017)^{-12}}{0,017} $$

$$ G=2000 \cdot \frac{0,183138}{0,017} $$

$$ G = 21545,68 $$

Du har altså råd til at optage et lån på 21.545,68 kr.

Vi ønsker at finde r

Du har lånt 50.000kr. i banken. Du har aftalt med banken, at lånet skal tilbagebetales over 36 terminer med 2000kr. pr. termin. Hvor stor er rentesatsen i % pr. termin?

Vi opskriver formlen og indsætter de kendte størrelser:

$$ G=y \cdot \frac{1-(1+r)^{-n}}{r} $$

$$ 50000=2000 \cdot \frac{1-(1+r)^{-36}}{r} $$

Denne type af ligning, hvor den ubekendte størrelse  r  indgår både i en parentesudregning i tælleren og som en størrelse i nævneren, kan ikke umiddelbart løses vha. en lommeregner. Her kunne man gætte sig frem, men det kan være meget besværligt. Derfor løses ligningen i et CAS-værktøj som TI-Nspire eller Maple, og vi får løsningen:

$$ r = 0,021211 \cdot 100 \% = 2,12 \% $$

Rentesatsen på dit lån er altså 2,12%.

Vi ønsker at finde y

Du har lånt 50.000kr. i banken. Du har aftalt med banken, at lånet skal tilbagebetales over 24 terminer med en rentesats på 1,5% pr. termin. Hvor meget skal du betale i ydelse hver termin?

Vi opskriver formlen og indsætter de kendte størrelser:

$$ G=y \cdot \frac{1-(1+r)^{-n}}{r} $$

$$ 50000=y \cdot \frac{1-(1+0,015)^{-24}}{0,015} $$

$$ 50000=y \cdot \frac{0,300456}{0,015} $$

$$ 50000=y \cdot 20,0304 $$

$$ y = \frac{50000}{20,0304} = 2496,21 $$

Du skal altså betale 2496,21 kr hver termin, for at betale dit lån af.

Vi ønsker at finde n

Du har lånt 75.000kr. i banken til 1,2% i rente pr. termin. Du har råd til at tilbagebetale 3000kr. hver termin. Hvor lang tid tager det at afvikle lånet?

Vi opskriver formlen og indsætter de kendte størrelser:

$$ G=y \cdot \frac{1-(1+r)^{-n}}{r} $$

$$ 75000=3000 \cdot \frac{1-(1+0,012)^{-n}}{0,012} $$

Nu står n alene som eksponent i vores ligning. Løsning af ligninger af denne slags, kræver at man kender til logaritmer. Hvis man ikke gør det, kan ligningen dog også nemt løses med et CAS-program som TI-Nspire eller Maple, men her gennemgåes resten af regnestykket med logaritmeregneregler:

$$ \frac{75000}{3000}=\frac{1-(1+0,012)^{-n}}{0,012} $$

$$ \frac{75000}{3000} \cdot 0,012=1-(1,012)^{-n} $$

$$ 0,3=1-(1,012)^{-n} $$

$$ (1,012)^{-n} = 1-0,3 $$

$$ \text{log}((1,012)^{-n}) = \text{log}(0,7) $$

$$ -n \cdot \text{log}((1,012)) = \text{log}(0,7) $$

$$ -n = \frac{\text{log}(0,7)}{\text{log}((1,012))} $$

$$ -n = -29,9009 $$

$$ n = 29,9009 $$

Gælden vil altså være afbetalt på 30 terminer.

Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!