Find a og b (potens)
Vi vil her gennemgå, hvordan man finder konstanterne a og b (eksponenten og skæringen med linjen x=1) for en potensfunktion, når man kender to punkter på grafen.
Lad os starte med at kalde de to punkter på grafen for hhv.
$$\left ( x_1, \,y_1 \right )\, \text{og}\, \left (x_2,\,y_2 \right )$$
Først finder vi a. Den findes ved hjælp af formlen
$$a=\frac{\log(y_2)-\log(y_1)}{\log(x_2)-\log(x_1)}$$
Når vi har fundet a, kan vi finde b. Vi indsætter punkterne i forskriften for potensfunktionen og isolerer b. Det giver os to formler for b, og vi vælger selv, hvilken vi vil bruge.
$$y_1=b\cdot {x_1}^a\quad\Leftrightarrow\quad b=\frac{y_1}{{x_1}^a}\\\\\\y_2=b\cdot {x_2}^a\quad\Leftrightarrow\quad b=\frac{y_2}{{x_2}^a}$$
Lad os se på et eksempel.
Hvis vores punkter er
$$(1,\,4)\,\text{ og }\,(3,\,36)$$
kan vi finde forskriften for potensfunktionen således.
Først finder vi a:
$$a=\frac{\log(y_2)-\log(y_1)}{\log(x_2)-\log(x_1)}=\frac{\log(36)-\log(4)}{\log(3)-\log(1)}=\frac{1,556-0,602}{0,477-0}=2$$
Så finder vi b:
$$b=\frac{y_1}{{x_1}^a}=\frac{4}{1^2}=\frac{4}{1}=4$$
$$b=\frac{y_2}{{x_2}^a}=\frac{36}{3^2}=\frac{36}{9}=4$$
Derfor er vores forskrift
$$y=4x^2$$