Find a og b (potens)

Vi vil her gennemgå, hvordan man finder konstanterne a og b (eksponenten og skæringen med linjen x=1) for en potensfunktion, når man kender to punkter på grafen.

Lad os starte med at kalde de to punkter på grafen for hhv.

$$\left ( x_1, \,y_1 \right )\, \text{og}\, \left (x_2,\,y_2 \right )$$

Først finder vi a. Den findes ved hjælp af formlen

$$a=\frac{\log(y_2)-\log(y_1)}{\log(x_2)-\log(x_1)}$$

Når vi har fundet a, kan vi finde b. Vi indsætter punkterne i forskriften for potensfunktionen og isolerer b. Det giver os to formler for b, og vi vælger selv, hvilken vi vil bruge.

$$y_1=b\cdot {x_1}^a\quad\Leftrightarrow\quad b=\frac{y_1}{{x_1}^a}\\\\\\y_2=b\cdot {x_2}^a\quad\Leftrightarrow\quad b=\frac{y_2}{{x_2}^a}$$

Lad os se på et eksempel.

Hvis vores punkter er

$$(1,\,4)\,\text{ og }\,(3,\,36)$$

kan vi finde forskriften for potensfunktionen således.

Først finder vi a:

$$a=\frac{\log(y_2)-\log(y_1)}{\log(x_2)-\log(x_1)}=\frac{\log(36)-\log(4)}{\log(3)-\log(1)}=\frac{1,556-0,602}{0,477-0}=2$$

Så finder vi b:

$$b=\frac{y_1}{{x_1}^a}=\frac{4}{1^2}=\frac{4}{1}=4$$

$$b=\frac{y_2}{{x_2}^a}=\frac{36}{3^2}=\frac{36}{9}=4$$

Derfor er vores forskrift

$$y=4x^2$$

$$y1/(x1^{ln(y2/y1)/ln(x2/x1)})$$

Videolektion