Renteformlen

Hvis du sætter K₀=2.000 kr i banken til en årlig rente r=5%, hvor mange penge har du så efter 5 år? Det er noget vi kan udregne med renteformlen. Når man regner procentopgaver er det vigtigt, at man omregner procentdelen til decimaltal. Det gør man ved at dividere med 100, og i vores tilfælde får vi altså

$$5\% = \frac{5}{100} = 0.05$$

For hvert år har man altså det man havde før + 5% (0,05) af det man havde før. Eller sagt på en anden måde:

$$2000\cdot1+2000\cdot0,05=2000\cdot(1+0,05)=2000\cdot1,05$$

For hvert år skal man altså gange 1,05 på.

$$K_1=2000\cdot1,05=2100$$

$$K_2=2100\cdot1,05=2205$$

$$K_3=2205\cdot1,05=2315,25$$

$$K_4=2315,25\cdot1,05=2431,0125$$

$$K_5=2431,0125\cdot1,05=2552,56$$

Efter 5 år vil man altså have 2552,56 kr.

Det, vi gjorde, var jo at gange vores startværdi med 1,05 for hvert år, der gik. Dette kan vi generelt skrive som

$$K_n=2000\underbrace{\cdot1,05\cdot1,05\cdot.\,.\,.\,\cdot1,05}_{n\,\text{gange}}\\K_n=2000\cdot1,05^n$$

For en generel startkapital K₀ og en generel rente r er renteformlen således

$$K_n=K_0\cdot(1+r)^n$$

Man beregner altså, hvor stort beløbet er efter n terminer. (Termin er et ord lånt fra bankverdenen, hvor det betyder perioden mellem to rentetilskrivninger).

I det første eksempel var det altså beløbet efter n terminer vi ikke kendte. Det er også muligt at isolere de øvrige størrelser i renteformlen

$$K_0=\frac{K_n}{(1+r)^n}$$

$$r=-1+\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}$$

$$n=\frac{\log(K_n)-\log(K_0)}{\log(1+r)}$$

Nedenfor gennemgåes eksempler hvor vi ønsker at finde K₀, r eller n.

Vi ønsker at finde K₀

For 5 terminer siden blev der sat et ukendt beløb i banken til 4% i rente pr. termin. Beløbet er vokset til 10000kr. Hvor mange penge blev der sat i banken?

Formlen opskrives, og de kendte størrelser indsættes:

$$K_n=K_0\cdot(1+r)^n$$

$$10000 = K_0 \cdot (1+0,04)^5$$

$$10000 = K_0 \cdot 1,04^5$$

$$K_0 = \frac{10000}{1,04^5} = 8219,27$$

For 5 terminer siden blev der altså sat 8219,27kr. i banken.

Vi ønsker at finde r

For 10 terminer siden blev der sat 15000kr. i banken. Nu står der 20000kr. på kontoen. Hvor stor har rentesatsen været?

Formlen opskrives, og de kendte størrelser indsættes:

$$K_n=K_0\cdot(1+r)^n$$

$$20000 = 15000 \cdot (1+r)^{10}$$

$$\frac{20000}{15000} = (1+r)^{10}$$

$$\sqrt[10]{\frac{20000}{15000}} = 1+r$$

$$\sqrt[10]{\frac{20000}{15000}}-1 = r$$

$$r = 0,02919 = 2,919\%$$

Rentesatsen var altså 2,919%

Ligningen i denne opgave kan også let løses med et CAS-værktøj, som TI-Nspire eller Maple.

Vi ønsker at finde n

For længe siden blev der sat 15000kr. i banken til 2,5% i renter pr. termin. Nu står der 21194,60kr. på kontoen. Hvor længe er det siden de 15000kr. blev sat i banken?

Formlen opskrives, og de kendte størrelser indsættes:

$$K_n=K_0\cdot(1+r)^n$$

$$21194,60 = 15000 \cdot (1+0,025)^n$$

$$\frac{21194,60}{15000} =  (1,025)^n$$

Nu står n alene som eksponent i vores ligning. Løsning af ligninger af denne slags, kræver at man kender til logaritmer. Hvis man ikke gør det, kan ligningen dog også nemt løses med et CAS-program som TI-Nspire eller Maple, men her gennemgåes resten af regnestykket med logaritmeregneregler:

$$\text{log}\bigg(\frac{21194,60}{15000} \bigg) = \text{log}\big( (1,025)^n \big)$$

$$0,150134 = n \cdot \text{log}(1,025)$$

$$n = \frac{0,150134}{\text{log}(1,025)} = 14$$

De 15000kr. blev altså sat i banken for 14 terminer siden.

Renteformlen er et eksempel på eksponentiel udvikling

---

Videolektion