Renteformlen
Hvis du sætter K0=2.000 kr i banken til en årlig rente r=5%, hvor mange penge har du så efter 5 år? Det er noget vi kan udregne med renteformlen. Når man regner procentopgaver er det vigtigt, at man omregner procentdelen til decimaltal. Det gør man ved at dividere med 100, og i vores tilfælde får vi altså
$$5\% = \frac{5}{100} = 0.05$$
For hvert år har man altså det man havde før + 5% (0,05) af det man havde før. Eller sagt på en anden måde:
$$2000\cdot1+2000\cdot0,05=2000\cdot(1+0,05)=2000\cdot1,05$$
For hvert år skal man altså gange 1,05 på.
$$K_1=2000\cdot1,05=2100$$
$$K_2=2100\cdot1,05=2205$$
$$K_3=2205\cdot1,05=2315,25$$
$$K_4=2315,25\cdot1,05=2431,0125$$
$$K_5=2431,0125\cdot1,05=2552,56$$
Efter 5 år vil man altså have 2552,56 kr.
Det, vi gjorde, var jo at gange vores startværdi med 1,05 for hvert år, der gik. Dette kan vi generelt skrive som
$$K_n=2000\underbrace{\cdot1,05\cdot1,05\cdot.\,.\,.\,\cdot1,05}_{n\,\text{gange}}\\K_n=2000\cdot1,05^n$$
For en generel startkapital K0 og en generel rente r er renteformlen således
$$K_n=K_0\cdot(1+r)^n$$
Man beregner altså, hvor stort beløbet er efter n terminer. (Termin er et ord lånt fra bankverdenen, hvor det betyder perioden mellem to rentetilskrivninger).
I det første eksempel var det altså beløbet efter n terminer vi ikke kendte. Det er også muligt at isolere de øvrige størrelser i renteformlen
$$K_0=\frac{K_n}{(1+r)^n}$$
$$r=-1+\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}$$
$$n=\frac{\log(K_n)-\log(K_0)}{\log(1+r)}$$
Nedenfor gennemgåes eksempler hvor vi ønsker at finde K0, r eller n.
Vi ønsker at finde K0
For 5 terminer siden blev der sat et ukendt beløb i banken til 4% i rente pr. termin. Beløbet er vokset til 10000kr. Hvor mange penge blev der sat i banken?
Formlen opskrives, og de kendte størrelser indsættes:
$$K_n=K_0\cdot(1+r)^n$$
$$ 10000 = K_0 \cdot (1+0,04)^5 $$
$$ 10000 = K_0 \cdot 1,04^5 $$
$$ K_0 = \frac{10000}{1,04^5} = 8219,27 $$
For 5 terminer siden blev der altså sat 8219,27kr. i banken.
Vi ønsker at finde r
For 10 terminer siden blev der sat 15000kr. i banken. Nu står der 20000kr. på kontoen. Hvor stor har rentesatsen været?
Formlen opskrives, og de kendte størrelser indsættes:
$$K_n=K_0\cdot(1+r)^n$$
$$ 20000 = 15000 \cdot (1+r)^{10} $$
$$ \frac{20000}{15000} = (1+r)^{10} $$
$$ \sqrt[10]{\frac{20000}{15000}} = 1+r $$
$$ \sqrt[10]{\frac{20000}{15000}}-1 = r $$
$$ r = 0,02919 = 2,919\% $$
Rentesatsen var altså 2,919%
Ligningen i denne opgave kan også let løses med et CAS-værktøj, som TI-Nspire eller Maple.
Vi ønsker at finde n
For længe siden blev der sat 15000kr. i banken til 2,5% i renter pr. termin. Nu står der 21194,60kr. på kontoen. Hvor længe er det siden de 15000kr. blev sat i banken?
Formlen opskrives, og de kendte størrelser indsættes:
$$K_n=K_0\cdot(1+r)^n$$
$$ 21194,60 = 15000 \cdot (1+0,025)^n $$
$$ \frac{21194,60}{15000} = (1,025)^n $$
Nu står n alene som eksponent i vores ligning. Løsning af ligninger af denne slags, kræver at man kender til logaritmer. Hvis man ikke gør det, kan ligningen dog også nemt løses med et CAS-program som TI-Nspire eller Maple, men her gennemgåes resten af regnestykket med logaritmeregneregler:
$$ \text{log}\bigg(\frac{21194,60}{15000} \bigg) = \text{log}\big( (1,025)^n \big) $$
$$ 0,150134 = n \cdot \text{log}(1,025) $$
$$ n = \frac{0,150134}{\text{log}(1,025)} = 14 $$
De 15000kr. blev altså sat i banken for 14 terminer siden.
Renteformlen er et eksempel på eksponentiel udvikling