Kvadratsætningerne

Kvadratsætningerne bruger man ofte, når man skal reducere udtryk. De omhandler, hvad der sker,
når man ganger to parenteser med hinanden, der indeholder de samme tal.

$$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$$

$$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$$

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Med ord kan man sammenfatte den første kvadratsætning til "kvadratet på en to-leddet størrelse er lig med kvadratet på det første led plus kvadratet på det andet led plus det dobbelte produkt".

Den anden kvadratsætning kan sammenfattes til "kvadratet på en to-leddet størrelse er lig med kvadratet på det første led plus kvadratet på det andet led minus det dobbelte produkt".

Den tredje kvadratsætning kan med ord siges "produktet af to tals sum og de samme to tals differens er kvadratet på første led minus kvadratet på andet led".

Eksempler på de tre kvadratsætninger kunne være

$$(3+x)^2=3^2+x^2+2\cdot3\cdot x=9+x^2+6x$$

$$(x-5)^2=x^2+5^2-2\cdot x\cdot5=x^2+25-10x$$

$$(x+4)(x-4)=x^2-4^2=x^2-16$$

Men hvordan kan det egentlig være, at de tre kvadratsætninger ser ud som de gør?
De er ganske enkelt fremkommet ved at gange to parenteser med hinanden
Lad os se på den første regel:

$$(a+b)^2=({\color{Red} a}+{\color{Magenta} b})({\color{Blue} a}+{\color{Purple}b})={\color{Red} a}\cdot {\color{Blue} a}+{\color{Red} a}\cdot {\color{Purple} b}+{\color{Magenta} b}\cdot {\color{Blue} a}+{\color{Magenta} b}\cdot {\color{Purple} b}$$

$$=a^2+ab+ba+b^2=a^2+b^2+2ab$$

Og den anden:

$$(a-b)^2=({\color{Red} a}-{\color{Magenta} b})({\color{Blue} a}-{\color{Purple}b})={\color{Red} a}\cdot {\color{Blue} a}+{\color{Red} a}\cdot {\color{Purple}{ (-b)}}+{\color{Magenta}{ (-b)}}\cdot {\color{Blue} a}+{\color{Magenta}{ (-b)}}\cdot {\color{Purple} {(-b)}}$$

$$=a^2-ab-ba{\color{Orange}{ \:+\:}}b^2=a^2+b^2-2ab\\$$

Her er det orange plus fremkommet ved at minus gange minus giver plus (se afsnittet om negative tal).

Den tredje kvadratsætning er også forekommet ved at gange to parenteser med hinanden

$$({\color{Red} a}+{\color{Magenta} b})({\color{Blue} a}-{\color{Purple} b})={\color{Red}a}\cdot {\color{Blue} a}+{\color{Red} a}\cdot {\color{Purple}{ (-b)}}+{\color{Magenta} b}\cdot{\color{Blue} a}+{\color{Magenta} b}\cdot {\color{Purple}{ (-b)}}$$

$$=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2$$

Kvadratsætninger og ligningsløsning

Man kan nogle gange løse ligninger ved at bruge kvadratsætningerne. 

Hvis man f.eks. har ligningen

$$x^2+9=6x$$

Kan man starte med at rykke 6x hen på den anden side af lighedstegnet

$$x^2+9-6x=0$$

så kan man regne på venstresiden

$$x^2+9-6x=x^2+3^2-2\cdot3\cdot x$$

og så kan vi bruge den anden kvadratsætning "baglæns" til at samle udtrykket

$$x^2+3^2-2\cdot3\cdot x=(x-3)^2$$

Nu er vores ligning

$$(x-3)^2=0$$

og for at venstresiden giver 0, skal x tydeligvis være 3.
Altså er løsningen x=3.

Videolektion

Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!