Kvadratsætningerne
Kvadratsætningerne bruger man ofte, når man skal reducere udtryk. De omhandler, hvad der sker,
når man ganger to parenteser med hinanden, der indeholder de samme tal.
$$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$$
$$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$$
$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$
Med ord kan man sammenfatte den første kvadratsætning til "kvadratet af summen af to størrelser er lig med kvadratet af den første størrelse plus kvadratet af den anden størrelse plus produktet af de to størrelser ganget med to".
Den anden kvadratsætning kan sammenfattes til "kvadratet af differensen mellem to størrelser er lig med kvadratet af den første størrelse plus kvadratet af den anden størrelse minus produktet af de to størrelser ganget med to".
Den tredje kvadratsætning kan med ord siges "produktet af to tals sum og de samme to tals differens er kvadratet på første led minus kvadratet på andet led".
Eksempler på de tre kvadratsætninger kunne være
$$(3+x)^2=3^2+x^2+2\cdot3\cdot x=9+x^2+6x$$
$$(x-5)^2=x^2+5^2-2\cdot x\cdot5=x^2+25-10x$$
$$(x+4)(x-4)=x^2-4^2=x^2-16$$
Men hvordan kan det egentlig være, at de tre kvadratsætninger ser ud som de gør?
De er ganske enkelt fremkommet ved at gange to parenteser med hinanden
Lad os se på den første regel:
$$(a+b)^2=({\color{Red} a}+{\color{Magenta} b})({\color{Blue} a}+{\color{Purple}b})={\color{Red} a}\cdot {\color{Blue} a}+{\color{Red} a}\cdot {\color{Purple} b}+{\color{Magenta} b}\cdot {\color{Blue} a}+{\color{Magenta} b}\cdot {\color{Purple} b}$$
$$=a^2+ab+ba+b^2=a^2+b^2+2ab$$
Og den anden:
$$(a-b)^2=({\color{Red} a}-{\color{Magenta} b})({\color{Blue} a}-{\color{Purple}b})={\color{Red} a}\cdot {\color{Blue} a}+{\color{Red} a}\cdot {\color{Purple}{ (-b)}}+{\color{Magenta}{ (-b)}}\cdot {\color{Blue} a}+{\color{Magenta}{ (-b)}}\cdot {\color{Purple} {(-b)}}$$
$$=a^2-ab-ba{\color{Orange}{ \:+\:}}b^2=a^2+b^2-2ab\\$$
Her er det orange plus fremkommet ved at minus gange minus giver plus (se afsnittet om negative tal).
Den tredje kvadratsætning er også forekommet ved at gange to parenteser med hinanden
$$({\color{Red} a}+{\color{Magenta} b})({\color{Blue} a}-{\color{Purple} b})={\color{Red}a}\cdot {\color{Blue} a}+{\color{Red} a}\cdot {\color{Purple}{ (-b)}}+{\color{Magenta} b}\cdot{\color{Blue} a}+{\color{Magenta} b}\cdot {\color{Purple}{ (-b)}}$$
$$=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2$$
Kvadratsætninger og ligningsløsning
Man kan nogle gange løse ligninger ved at bruge kvadratsætningerne.
Hvis man f.eks. har ligningen
$$x^2+9=6x$$
Kan man starte med at rykke 6x hen på den anden side af lighedstegnet
$$x^2+9-6x=0$$
så kan man regne på venstresiden
$$x^2+9-6x=x^2+3^2-2\cdot3\cdot x$$
og så kan vi bruge den anden kvadratsætning "baglæns" til at samle udtrykket
$$x^2+3^2-2\cdot3\cdot x=(x-3)^2$$
Nu er vores ligning
$$(x-3)^2=0$$
og for at venstresiden giver 0, skal x tydeligvis være 3.
Altså er løsningen x=3.