Polynomier af højere grad

Polynomier af højere grad er ikke så besværligt, som det lyder. Du allerede et andengradspolynomium, hvis forskrift ser således ud:

$$y=ax^2+bx+c$$

Her er 2 højeste eksponent x er opløftet i. Det vil også sige at graden af polynomiet er 2.

Et andet eksempel kunne være et fjerdegradspolynomium:

$$y=5x^4+2x^3+3x^2+2x+7$$

Det har den generelle forskrift:
$$y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$

4 er den højeste eksponent som x er opløftet i, så her er graden af polynomiet 4.

Det er den højeste eksponent som x er opløftet i, der afgør polynomiets grad.

Koefficienter

Hvis polynomium har en ulige grad, som tredjegrads-
eller femtegradspolynomium, så fortæller koefficienten a om grafen til start og slut er faldende eller voksende.

\begin{align*}
a>0 & \text{ så vil grafen være voksende til at starte med og til sidst} \\
a<0 & \text{ så vil grafen være faldende til at starte med og til sidst}
\end{align*}

Hvis polynomium har en lige grad, som en andengrads- og fjerdegradspolynomium så fortæller koefficienten a, om grafen "smiler" eller er "sur". Altså om grenene vender opad eller nedad

\begin{align*}
a>0 & \text{ så vender grenene opad, dvs. at grafen smiler} \\
a<0 & \text{ så vender grenene nedad, dvs. at grafen er sur}
\end{align*}

Nulpunkter

Nulpunkter er de punkter, hvor grafen skærer x-aksen. Med andre ord er det når f(x) = 0.
Graden af en funktion fortæller hvor mange nulpunkter funktionen højest kan have.
F.eks. kan et tredjegradspolynomium således højst have tre nulpunkter. Men det er vigtigt at nævne, at det behøver den ikke at have. Den kan sagtens have 1 eller 2 nulpunkter.