Regneregler for differentialkvotienter
Sumreglen
Hvis man ønsker at differentiere summen af to funktioner, så kan man bare differentiere dem hver for sig. Det samme gælder med differensen af to funktioner. Med symboler, kan vi skrive det således.
$$h(x)=f(x)\pm g(x)\qquad\Rightarrow $$
$$h'(x)=f'(x)\pm g'(x)$$
Med ord siger vi "differentialkvotienten af en sum er lig med summen af differentialkvotienterne".
F.eks. hvis
$$h(x)=2x+x^3$$
så kan vi kalde
$$f(x)=2x,\quad g(x)=x^3$$
Vi differentierer de to funktioner hver for sig
$$f'(x)=2,\quad g'(x)=3x^2$$
Hvis vi vil differentiere h, skal vi altså bare lægge de to sammen.
$$h'(x)=2+3x^2$$
Konstantreglen
Hvis vi ønsker at differentiere en funktion, der er ganget med en konstant, så skal vi bare lade konstanten stå og så differentiere funktionen.
$$g(x)=k\cdot f(x)\Rightarrow$$
$$g'(x)=k\cdot f'(x)$$
Hvis
$$g(x)=4\sqrt{x}$$
så skal vi altså bare lade 4-tallet stå og differentiere kvadratroden af x
$$g'(x)=4\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{2}{\sqrt{x}}$$
Produktreglen
Hvis man vil differentiere to funktioner, der er ganget med hinanden, er det desværre ikke nær så let.
$$h(x)=f(x)\cdot g(x)\qquad\Rightarrow$$
$$h'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
Man kan huske reglen ved at man skal "diffe, beholde + beholde og diffe".
Hvis f.eks.
$$h(x)=5x^2\cdot\ln(x)$$
Denne funktion er et produkt af de to funktioner:
$$f(x)=5x^2,\quad g(x)=\ln(x)$$
Vi differentierer de to funktioner hver for sig:
$$f'(x)=5\cdot2x^{2-1}=10x,\quad g'(x)=\frac{1}{x}$$
Vi kan nu bestemme h'(x) med produktreglen ud fra de fundne differentialkvotienter og funktionerne:
$$h'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x) $$
$$h'(x)=10x\cdot\ln(x)+5x^2\cdot\frac{1}{x}=10x\ln(x)+5x$$
Kvotientreglen
Hvis man vil differentiere to funktioner, der er divideret med hinanden, så er regnereglen endnu sværere.
$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\qquad\Rightarrow$$
$$h'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$$
Hvis f.eks.
$$h(x)=\frac{x^3}{5\ln(x)}$$
Så er h en kvotient (brøk) af funktionerne
$$f(x)=x^3,\quad g(x)=5\ln(x)$$
Vi differentierer dem hver især
$$f'(x)=3x^2,\quad g'(x)=5\cdot\frac{1}{x}=\frac{5}{x}$$
Hvis vi vil differentiere h, kan vi altså nu sætte ind i kvotientreglen
$$h'(x)=\frac{3x^2\cdot5\ln(x)-x^3\cdot\frac{5}{x}}{(5\ln(x))^2}=\frac{15x^2\ln(x)-5x^2}{25\cdot(\ln(x))^2}=\frac{3x^2\ln(x)-x^2}{5\cdot(\ln(x))^2}$$
Regnereglerne
For at opsummere er reglerne:
$$(f\pm g)'(x)=f'(x)\pm g'(x)$$
$$(k\cdot f)'(x)=k\cdot f'(x)$$
$$(f\cdot g)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$
$$ \left( \frac{f}{g} \right) '(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$