Omvendte funktioner
Identitetsfunktionen
Identitetsfunktionen er en funktion, hvor det tal man kommer ind i funktionen er det samme som kommer ud
$$Id(x)=x$$
Omvendte funktioner
To funktioner kaldes omvendte, hvis man får identitetsfunktionen ved at sammensætte dem. Man kan tænke på det som, at de to funktioner virker modsatrettet, så den ene annullerer det, den anden gør ved et x.
Et eksempel på omvendte funktioner er
$$f(x)=x^2\quad og\quad g(x)=\sqrt{x},\ \ x\geq0$$
Vi tjekker at de er omvendte funktioner ved at sammensætte dem både den ene og den anden vej.
$$(f\circ g)(x)=f(g(x))=(g(x))^2=(\sqrt{x})^2=x$$
$$(g\circ f)(x)=g(f(x))=\sqrt{f(x)}=\sqrt{x^2}=x$$
Da vi ved at sammensætte dem fik x ud, er g og f omvendte funktioner. Hvis f er en funktion, betegner man tit dens omvendte funktion med f -1.
F.eks.
$$f(x)=\sqrt{x}\quad\Rightarrow\quad f^{-1}(x)=x^2$$
Det er vigtigt at bemærke, at "-1" ikke skal forstås som en potens. Det er simpelthen bare et symbol, der betyder "omvendt funktion".
$$f^{-1}(x)\neq (f(x))^{-1}$$
Andre eksempler på omvendte funktioner er
$$e^x\quad og\quad\ln(x)$$
$$10^x\quad og\quad\log(x)$$
$$2x\quad og\quad\frac{x}{2}$$
$$x+8\quad og\quad x-8$$
Alle de trigonometriske funktioner har også omvendte funktioner.
$$\sin(x)\quad og\quad\sin^{-1}(x)$$
$$\cos(x)\quad og\quad\cos^{-1}(x)$$
$$\tan(x)\quad og\quad\tan^{-1}(x)$$
Omvendte funktioner kaldes også for inverse funktioner.