Tangent til cirkel
På denne side vil vi gennemgå, hvordan man kan bestemme ligningen for en tangent til en cirkel, når man kender cirklens centrum og røringspunktet for tangenten.
Vi vil først skitsere en fremgangsmåde for, hvordan det kan gøres generelt, og derefter vil vi gennemgå et konkret eksempel.
Hvad er en tangent?
Generelt er en tangent en ret linje, der rører et objekt i et enkelt punkt. Når vi arbejder specifikt med en tangent til en cirkel, gælder der desuden, at tangenten står vinkelret på radius for cirklen. Man siger, at radius og tangentens linje er ortogonale.
På figuren ovenfor har vi en cirkel med centrum i $C$. Punktet $P$ ligger på cirklen, og tangenten til cirklen i punktet $P$ er den røde linje.
Tangentens ligning
En tangent er en ret linje, og den har derfor en ligning på formen
$$y=ax+b,$$
hvor $a$ er linjens hældning, og $b$ er linjens skæring med $y$-aksen. For at bestemme tangentens ligning, skal vi altså bestemme konstanterne $a$ og $b$.
At bestemme tangentens hældning
Da tangenten står vinkelret på cirklens radius, vil produktet af de to linjers hældning være -1. Det kan du læse mere om på siden om ortogonale linjer. Derfor kan vi finde tangentens hældning ved at finde hældningen på linjen mellem $C$ og $P$. Dette er en ret linje gennem to punkter, så der kan vi bruge a-formlen for en ret linje.
Hvis vi kalder hældningen for linjen, der går gennem punkterne $C$ og $P$, for $a_{CP}$, kan vi altså beregne $a_{CP}$ med formlen
$$a_{CP}= \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1},$$
hvor $P(x_1,y_1)$ og $C(x_2,y_2)$.
Når vi har beregnet $a_{CP}$, kan vi altså finde hældningen for tangenten til cirklen i $P$ (som vi kalder $a$) ved at bruge, at
$$a_{CP} \cdot a = -1 \Leftrightarrow a= \dfrac{-1}{a_{CP}}.$$
Nu har vi en metode til at bestemme tangentens hældning (dvs. $a$), men vi skal også bestemme tangentens skæring med $y$-aksen (dvs. $b$).
At bestemme tangentens skæring med $y$-aksen
Tangenten til en cirkel er en ret linje, hvor vi kender ét punkt på linjen, nemlig $P$. (Husk at $P$ netop er der, hvor tangenten rører cirklen.) Vi kan derfor bruge $b$-formlen for en ret linje til at bestemme skæringen med $y$-aksen for tangenten.
$$b = y_1 - a \cdot x_1,$$
hvor $P(x_1,y_1)$.
Tangentens ligning
Når vi både har bestemt $a$ og $b$, kan vi opskrive ligningen for tangenten i punktet $P$ som en ret linje:
$$y=a \cdot x + b$$
Eksempel: Bestem tangentens ligning
En cirkel har centrum i punktet $C(3,4)$. Punktet $P(2,6)$ ligger på cirklen. Vi skal nu bestemme ligningen for tangenten til cirklen i punktet $P$.
Hældningen for linjen gennem $C$ og $P$
Som det første bestemmer vi hældningen for den rette linje, der går gennem punkterne $P(2,6)$ og $C(3,4)$. Dvs. vi har at $x_1=2$, $y_1=6$, $x_2=3$ og $y_2=4$.
$$a_{CP}= \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{4-6}{3-2}=\dfrac{-2}{1}=-2 $$
Hældningen for den rette linje, der går gennem $C$ og $P$, er altså $-2$.
Hældningen for tangenten i $P$
Nu udnytter vi, at linjen gennem $C$ og $P$ og tangenten i $P$ er ortogonale. Vi ved, at $a_{CP} \cdot a = -1$ og at $a_{CP}=-2$, så
$$a = \dfrac{-1}{a_{CP}} = \dfrac{-1}{-2}= \dfrac{1}{2}.$$
Hældningen for tangenten i punktet $P$ er altså $\frac{1}{2}$.
Tangentens skæring med $y$-aksen
Nu kender vi hældningen for tangenten, $a = \frac{1}{2}$, og et punkt, der ligger på tangenten, nemlig $P=(2,6)$. Vi kan derfor bestemme tangentens skæring med $y$-aksen, dvs. konstanten $b$.
$$b = y_1 - a \cdot x_1=6-\dfrac{1}{2} \cdot 2 = 6-1= 5$$
Tangentens skæring med $y$-aksen er altså $5$.
Tangentens ligning
Nu har vi fundet begge konstanter for tangentens linje ($a=\frac{1}{2}$ og $b=5$), og vi kan derfor opskrive tangentens ligning:
$$y=\dfrac{1}{2}\cdot x + 5$$