Linjens ligning

Linjens ligning

På C-niveau lærte vi, at en ret linje har ligningen

$$y=ax+b$$

På B-niveau lærte vi, at en ret linje også kan have ligningen

$$y=y_0+a(x-x_0)$$

hvor (x₀, y₀) er et kendt punkt på linjen.

På A-niveau lærer vi en ny måde at skrive ligningen for en ret linje på. Det er

$$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$$

hvor

$$\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$$

er en normalvektor til linjen. Dvs. den står vinkelret på linjen.

Så hvis vi kender en normalvektor til linjen og et punkt på linjen, så kan vi altså bestemme en ligning for linjen.

Hvis vi f.eks. ved, at

$$\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$$

står vinkelret på vores linje, og at

$$P_0=(1,4)$$

ligger på linjen, så er linjens ligning

$$3(x-1)+2(y-4)=0$$

$$3x+2y-11=0$$

Til sidst gangede vi ind i parentesen. Det kan vi også gøre generelt.

$$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$$

$$ax-ax_0+by-by_0=0$$

$$ax+by+{\color{Red} {(-ax_0-by_0)}}=0$$

$$ax+by+{\color{Red} c}=0$$

I det sidste skridt har vi samlet alle konstanterne i en samlet konstant som vi kalder c. Det nederste er en anden måde at skrive ligningen for den rette linje. Ulempen er, at man ikke kan aflæse et punkt på linjen direkte fra ligningen. Imidlertid kan man stadig aflæse en normalvektor.

$$ax+by+c=0\quad\Leftrightarrow\quad a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$$

Hvorfor ser ligningen sådan ud?

Vi ved at normalvektoren står vinkelret på linjen. Hvis et punkt P ligger på linjen, så må vektoren fra P₀ til P altså være ortogonal (dvs. vinkelret) med normalvektoren.

$$\overrightarrow{P_0P}\perp\overrightarrow{n}$$

Vi ved at skalarproduktet mellem to ortogonale vektorer er 0, så derfor kan vi slutte, at hvis P ligger på linjen så er

$$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{P_0P}=0$$

Vi indsætter koordinaterne og udregner skalarproduktet

$$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{P_0P}=0$$

$$\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x-x_0\\y-y_0\end{pmatrix}=0$$

$$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$$

og det er simpelthen derfor, at ligningen for linjen ser sådan ud.

Videolektion

NB: I videoen skrives linjens ligning op som \( a(y-y_0)+b(x-x_0)=0 \). Det passer ikke ikke med en normalvektor der hedder \( \overrightarrow{n} = (a,b) \) som i artiklen, men derimod \( \overrightarrow{n} = (b,a) \).