Diskriminantformlen
En andengradsligning er en ligning på formen
ax2+bx+c=0,a≠0
Grunden til, at a ikke må være 0, er, at så ville andengradsleddet forsvinde, og vi ville stå tilbage med en førstegradsligning.
Eksempler på andengradsligninger er
3x2+2x−5=0
5x2−3x+7=0
x2+8x=0
x2=9
Bemærk, at 9 i den nederste ligning står på den forkerte side af lighedstegnet. Imidlertid er det stadig en andengradsligning, og den kan omskrives til standardformen
x2−9=0,
og altså er a=1, b=0 og c=−9.
I den øverste ligning er a=3, b=2 og c=−5. I den næste er a=5, b=−3 og c=7.
Det er vigtigt at huske på fortegnene, når man skal finde ud af hvilke tal, a, b og c er.
Det er ikke umiddelbart til at isolere x i andengradsligninger, som vi er vant til fra førstegradsligninger. Men heldigvis findes der en metode til at løse andengradsligninger. Denne metode kaldes diskriminantmetoden. Den er inddelt i to skridt.
Først finder man diskriminanten, d, som er givet ved formlen
d=b2−4⋅a⋅c
Når man har fundet diskriminanten, er der tre muligheder:
Hvis d er negativ (d<0), så har ligningen ingen løsninger
Hvis d=0, så har ligningen 1 løsning
Hvis d er positiv (d>0), så har ligningen 2 løsninger
I de tilfælde, hvor der eksisterer løsninger, finder man dem ved formlen
x=−b±√d2⋅a
Tegnet ± læses som "plus-minus" og det betyder, at ved den ene løsning skal vi indsætte plus, og ved den anden skal vi indsætte minus.
x1=−b+√d2⋅ax2=−b−√d2⋅a
Eksempel
Lad os se på et eksempel.
Hvis vores andengradsligning er
2x2−10x+8=0
så er a=2, b=−10 og c=8.
Vi finder diskriminanten
d=b2−4⋅a⋅c=(−10)2−4⋅2⋅8=100−64=36
Da d>0 er der to løsninger på andengradsligningen.
Vi finder løsningerne således:
x=−b±√d2⋅a=−(−10)±√362⋅2=10±64={41
Ligningen bliver altså løst, når x=4 eller når x=1. Man skriver nogle gange løsningerne således
x=4∨x=1
hvor det v-formede tegn betyder "eller".
Videolektion
I denne video gennemgår vi hvordan man løser en andengradsligning vha. diskriminantmetoden og regner derefter et par eksempler.