Diskriminantformlen
En andengradsligning er en ligning på formen
$$ax^2+bx+c=0,\quad a\neq0$$
Grunden til, at \(a\) ikke må være 0, er, at så ville andengradsleddet forsvinde, og vi ville stå tilbage med en førstegradsligning.
Eksempler på andengradsligninger er
$$3x^2+2x-5=0$$
$$5x^2-3x+7=0$$
$$x^2+8x=0$$
$$x^2=9$$
Bemærk, at 9 i den nederste ligning står på den forkerte side af lighedstegnet. Imidlertid er det stadig en andengradsligning, og den kan omskrives til standardformen
$$x^2-9=0,$$
og altså er \(a=1\), \(b=0\) og \(c=-9\).
I den øverste ligning er \(a=3\), \(b=2\) og \(c=-5\). I den næste er \(a=5\), \(b=-3\) og \(c=7\).
Det er vigtigt at huske på fortegnene, når man skal finde ud af hvilke tal, \(a\), \(b\) og \(c\) er.
Det er ikke umiddelbart til at isolere \(x\) i andengradsligninger, som vi er vant til fra førstegradsligninger. Men heldigvis findes der en metode til at løse andengradsligninger. Denne metode kaldes diskriminantmetoden. Den er inddelt i to skridt.
Først finder man diskriminanten, \(d\), som er givet ved formlen
$$d=b^2-4\cdot a\cdot c$$
Når man har fundet diskriminanten, er der tre muligheder:
Hvis \(d\) er negativ (\(d<0\)), så har ligningen ingen løsninger
Hvis \(d=0\), så har ligningen 1 løsning
Hvis \(d\) er positiv (\(d>0\)), så har ligningen 2 løsninger
I de tilfælde, hvor der eksisterer løsninger, finder man dem ved formlen
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2\cdot a}$$
Tegnet \(\pm\) læses som "plus-minus" og det betyder, at ved den ene løsning skal vi indsætte plus, og ved den anden skal vi indsætte minus.
$$x_1=\frac{-b+\sqrt{d}}{2\cdot a}\qquad\qquad x_2=\frac{-b-\sqrt{d}}{2\cdot a}$$
Eksempel
Lad os se på et eksempel.
Hvis vores andengradsligning er
$$2x^2-10x+8=0$$
så er \(a=2\), \(b= -10\) og \(c=8\).
Vi finder diskriminanten
$$d=b^2-4\cdot a\cdot c =(-10)^2-4\cdot2\cdot8=100-64=36$$
Da \(d>0\) er der to løsninger på andengradsligningen.
Vi finder løsningerne således:
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2\cdot a}=\frac{-(-10)\pm\sqrt{36}}{2\cdot2}=\frac{10\pm6}{4}=\begin{cases}4\\\\1 \end{cases}$$
Ligningen bliver altså løst, når \(x=4\) eller når \(x=1\). Man skriver nogle gange løsningerne således
$$x=4\quad \lor \quad x=1$$
hvor det v-formede tegn betyder "eller".
Videolektion
I denne video gennemgår vi hvordan man løser en andengradsligning vha. diskriminantmetoden og regner derefter et par eksempler.