Stokastisk variabel

Det er ikke alle udfaldsrum der består af tal. Kaster man f.eks. en mønt, er udfaldsrummet

$$U=\{\text{plat, krone}\}$$

Imidlertid kan det undertiden være en fordel at man kan beskrive alle udfald ved hjælp af tal.

Det er dét, man bruger en stokastisk variabel til.

En stokastisk variabel betegnes med et stort bogstav. Oftest X eller Y.

En stokastisk variabel er egentlig en funktion, hvor man til hvert element i udfaldsrummet har knyttet et tal.

F.eks. kunne man i eksemplet med møntkastet have tilknyttet den stokastiske variabel X, hvor

$$X(\text{krone})=1,\quad X(\text{plat})=0$$

Hvis vi skal skrive sandsynligheden for, at få krone, så gøres det på følgende måde

$$P(X=1)=0,5$$

Man skriver altså sandsynligheden for, at den stokastiske variabel antager værdien 1.

Og sandsynligheden for at slå plat, ville man skrive

$$P(X=0)=0,5$$

Lad os se på endnu et eksempel. 

Hvis man kaster to terninger, kan man lave en stokastisk variabel Y, der måler summen af øjnene på de to terninger.

Læg mærke til, at så ville flere forskellige udfald antage den samme værdi.

Hvis vi havde slået en 5'er og en 2'er eller hvis vi havde slået en 1'er og en 6'er, ville summen være 7 i begge tilfælde.

$$Y(5,2)=Y(1,6)=7$$

Summen af to terningkast kan aldrig blive mindre end 2 og aldrig større end 12. Derfor kan Y antage værdierne 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 og 12.

Hvis Y skal være 2, så er vi nødt til at have slået (1,1). Der er altså kun 1 mulighed ud af de 36. Derfor er:

$$P(Y=2)=\frac{1}{36}\approx0,02778$$

Hvis Y skal være 3 er der 2 mulige kast: (1,2) og (2,1). Altså er:

$$P(Y=3)=\frac{2}{36}\approx0,05556$$

Hvis Y skal være 8 er der 5 mulige kast: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). Altså er

$$P(Y=8)=\frac{5}{36}\approx0,13889$$

Du kan selv regne sandsynlighederne ud for at Y antager de andre værdier.

Diskret vs. kontinuert

Der findes to slags stokastiske variable: de diskrete og de kontinuerte.

En diskret stokastisk variabel kan antage et endeligt antal værdier

En kontinuert stokastisk variabel kan antage uendeligt mange værdier (typisk et interval).

Eksemplerne ovenfor er begge diskrete stokastiske variable. Den stokastiske variable X kunne antage 2 værdier (0 og 1), men Y kunne antage 11 forskellige værdier (2,3,4,...,11,12).

Hvis vi laver en stokastisk variabel Z, der angiver højden på folk i din klasse, kunne den f.eks. antage værdierne

$$Z(\text{Pia})=162,3\qquad Z(\text{Rasmus})=187,49\qquad Z(\text{Peter})=179,88$$

Den ville derfor ikke være begrænset til et endeligt antal værdier, men kunne antage alle mulige positive værdier, hvor lang de fleste ville falde i intervallet [155;195].

Derfor er Z en kontinuert stokastisk variabel.

Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!