Faktorisering og nulreglen
Hvis man ønsker at løse ligningen
$$3\cdot x=0$$
er det klart, at x=0. Hvis vi skal gange et tal med noget og få 0, er vi nødt til at gange med 0.
Hvis vi i stedet ønsker at løse følgende ligning
$$x\cdot y=0$$
er det klart, at enten må x eller y være lig med 0(ellers skal de begge to være 0). Det er det, vi kalder nulreglen. Med ord siger vi: "Hvis et produkt skal være lig med 0, skal mindst en af faktorerne være lig med 0".
Lad os se, hvordan man kan anvende nulreglen til at løse ligninger.
Hvis vi bliver bedt om at løse ligningen
$$15-3x=0$$
kan vi omskrive venstresiden til et produkt ved at sætte 3 uden for parentes.
$$V:\:15-3x=3(5-x)$$
Når man omskriver noget til et produkt, kaldes det at faktorisere.
Nu er vores ligning
$$3(5-x)=0$$
Ifølge nulreglen, skal den første faktor (3) være 0, ellers skal den anden faktor (5-x) være 0.
Da 3 er et konstant tal, kan det aldrig være 0, derfor må (5-x)=0, hvilket svarer til x=5.
Faktorisering af andengradspolynomier
Hvis vi kender rødderne (nulpunkterne) for et andengradspolynomium, kan vi faktorisere det. I stedet for at skrive det på standardformen, kan vi skrive det således
$$f(x)=a\cdot(x-r_1)\cdot(x-r_2)$$
hvor r1 og r2 er de to rødder.
Grunden til, at faktoriseringen ser sådan ud, er, at vi gerne vil have, at polynomiet giver 0, når vi sætter en af rødderne ind på x's plads. Lad os tjekke om det virker.
$$f(r_1)=a\cdot(r_1-r_1)\cdot(r_1-r_2)=a\cdot0\cdot(r_1-r_2)=0$$
$$f(r_2)=a\cdot(r_2-r_1)\cdot(r_2-r_2)=a\cdot(r_2-r_1)\cdot0=0$$
Lad os tage et eksempel.
Vi bliver bedt om at løse en andengradsligning, der er faktoriseret.
$$3(x-5)(x+1)=0$$
Da venstresiden er faktoriseret, kan vi bruge nulreglen. Den siger, at for, at produktet af de tre faktorer (3, x-5 og x+1) kan være 0, så skal mindst en af faktorerne være 0. Den første faktor er konstant 3 og kan aldrig blive 0. Den anden faktor er 0 når x=5. Den tredje faktor er 0 når x= -1.
Derfor er løsningerne til andengradsligningen x=5 eller x= -1.
Lad os tage et andet eksempel.
Hvis vi nu får at vide at et andengradspolynomium har rødderne 1 og -2, samt at det går gennem punktet (0, 4), så kan vi finde dets forskrift.
$$f(x)=a\cdot(x-1)\cdot(x-(-2))=a\cdot(x-1)\cdot(x+2)$$
For at finde ud af, hvad a er, sætter vi punktet (0, 4) ind.
$$4=a(0-1)(0+2)$$
$$4=a\cdot(-2)$$
$$a=\frac{4}{-2}=-2$$
Derfor er vores forskrift
$$f(x)=-2\cdot(x-1)\cdot(x+2)$$
Vi kan gange parenteserne ud for at skrive forskriften på standardformen
$$f(x)=-2\cdot(x-1)\cdot(x+2)$$
$$f(x)=-2\cdot(x^2+2x-1x-2)$$
$$f(x)=-2\cdot(x^2+x-2)$$
$$f(x)=-2x^2-2x+4$$
Gæt løsningerne til en andengradsligning
Man kan bruge faktoriseringsmetoderne til hurtigt at gætte sig til løsningerne af en andengradsligning.
Lad os starte med at se på de andengradsligniner, hvor a=1.
Så kan andengradsligningen skrives
$$0=a(x-r_1)(x-r_2)=1\cdot(x-r_1)(x-r_2)=(x-r_1)(x-r_2)$$
Hvis vi nu ganger parenteserne ud, får vi
$$0=(x-r_1)(x-r_2)=x^2-r_2x-r_1x+r_1r_2$$
$$=x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2$$
Hvis vi sammenligner med standardformen for andengradsligninger, så er
$$b=-(r_1+r_2)\Leftrightarrow r_1+r_2=-b$$
$$c=r_1r_2$$
Vi skal altså finde to tal, der sammenlagt giver -b, og hvis produkt er c. Så har vi fundet rødderne.
Lad os tage et eksempel. Vi skal løse ligningen
$$x^2+2x-3=0$$
Da a=1 kan vi bruge reglen ovenfor. De to løsninger, r1 og r2, skal altså give -2 (= -b), når man lægger dem sammen, og -3 (= c), når man ganger dem med hinanden. Der er selvfølgelig kun ét talpar, der opfylder det, og det er talparret 1 og -3
$$1+(-3)=1-3=-2=-b$$
$$1\cdot(-3)=-3=c$$
Derfor er rødderne (dvs. løsningerne til andengradsligningen) x=1 og x= -3.
Vi kan skrive andengradsligningen
$$0=(x-1)(x-(-3))=(x-1)(x+3)$$
Hvis vi ganger disse parenteser ud, får vi vores oprindelige ligning.
Gæt løsningerne, hvis a ikke er 1
Hvis man ønsker at gætte løsningerne til en andengradsligning, hvor a ikke er 1, så skal man bare dividere med a på begge sider af lighedstegnet og så gøre som ovenfor.
$$ax^2+bx+c=0\quad\Leftrightarrow\quad x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$
Rødderne r1 og r2 skal nu opfylde
$$r_1+r_2=-\frac{b}{a}\qquad r_1r_2=\frac{c}{a}$$
Et eksempel.
$$4x^2-12x+8=0$$
Vi beregner \(\frac{-b}{a}\) og \(\frac{c}{a}\):
$$-\frac{b}{a}=-\frac{-12}{4}=-(-3)=3$$
$$\frac{c}{a}=\frac{8}{4}=2$$
Vi skal altså finde to tal der lagt sammen giver 3 og hvis produkt er 2.
Det er selvfølgelig kun 1 og 2, der opfylder dette
$$1+2=3=-\frac{b}{a}$$
$$1\cdot2=2=\frac{c}{a}$$
Løsningerne på andengradsligninen er derfor x=1 eller x=2.
Nu, hvor vi kender rødderne, kan vi faktorisere andengradsligningen.
$$0=4x^2-12x+8=4(x-1)(x-2)$$