Vinkel mellem vektorer
Hvis man tegner to (egentlige) vektorer ud fra samme begyndelsespunkt, vil der dannes en vinkel mellem dem. Man kan beregne denne vinkel vha. følgende formel
cos(v)=→a⋅→b|→a|⋅|→b|,→a,→b≠→0
cosinus til vinklen mellem to vektorer er altså skalarproduktet af divideret med produktet af deres længder.
Hvis vi ønsker at finde vinklen mellem
(4−3) og (42)
kan vi beregne den således
cos(v)=(4−3)⋅(42)|(4−3)|⋅|(42)|=4⋅4+(−3)⋅2√42+(−3)2√42+22=16−6√25√20≈0,455
v=cos−1(0,4545)≈62,96∘
Skalarprodukt og vinkel
I formlen for vinklen mellem to vektorer indgår et skalarprodukt. Lad os prøve at isolere det.
cos(v)=→a⋅→b|→a|⋅|→b|
→a⋅→b=cos(v)⋅|→a|⋅|→b|
Hvis skalarproduktet (venstresiden) er positiv, så er højresiden også positiv. Da længderne af a og b altid er positive, betyder det at cos(v) er positiv. cos(v) er positiv, når v er under 90°.
Hvis skalarproduktet er negativt, så er højresiden også negativ. Men da længderne altid er positive, betyder det, at cos(v) er negativ. cos(v) er negativ når v ligger mellem 90 og 180°.
Hvis skalarproduktet er 0, så er højresiden 0. Det betyder at cos(v) er 0. Og det betyder at vinklen mellem vektorerne er 90°
Altså kan vi sige
→a⋅→b>0⇔v er spids
→a⋅→b<0⇔v er stump
→a⋅→b=0⇔v er ret
Hvad hvis vinklen mellem vektorerne er over 180º?
Hvis vinklen mellem vektor a og vektor b er over 180, så vil vinklen mellem vektor b og vektor a være mindre end 180. De to vinkler vil tilmed have samme cosinus-værdi, så det er ikke noget, man behøver tænke over i udregningerne. Når man taler om vinklen mellem to vektorer, vil man typisk tale om den under 180.