Konstruktion af trekanter
Når vi har en trekant, er der seks parametre, der bestemmer, hvordan trekanten ser ud. Det er størrelsen på de tre vinkler og længden på de tre sider.
Når vi skal konstruere en trekant, har vi typisk tre kendte værdier. Det giver os seks forskellige trekantstilfælde, hvoraf fem af tilfældene giver mulighed for at konstruere en entydig trekant. Det er disse fem trekantstilfælde, vi vil gennemgå konstruktionen af i det følgende.
Udover gennemgangen af konstruktionen i de fem trekantstilfælde, har vi et afsnit, der handler specifikt om konstruktion i GeoGebra. Her gennemgår vi detaljer ved de værktøjer, der anvendes ofte, når vi konstruerer trekanter i GeoGebra.
De fem trekantstilfælde
Her er først en oversigt over de forskellige trekantstilfælde. Vær opmærksom på, at tilfældene kan være givet i en anden rækkefølge andre steder.
Det sjette tilfælde, hvor vi kender alle tre vinkler, giver ikke mulighed for en entydig konstruktion, da flere (uendelig mange faktisk) forskellige trekanter kan have samme vinkler. Trekanter, som har alle tre vinkler tilfælles, kalder vi for ensvinklede trekanter.
Tilfælde 1: Alle tre sider
I dette tilfælde kender vi længden af alle tre sider i trekanten. Nedenfor ser du en trin-for-trin gennemgang af, hvordan man konstruerer en trekant ud fra disse oplysninger.
1: Vi starter med at tegne et linjestykke med en given længde, hvor længden er den samme som den ene af trekantens sider.
2: Nu tegner vi en cirkel med centrum i den ene ende af linjestykket og med en radius, der har den samme længde som en af trekantens andre sider. På figuren nedenfor er cirklen rød.
3: Vi tegner også en cirkel med centrum i linjestykkets andet endepunkt, der har en radius med samme længde som den sidste af trekantens sider. På figuren nedenfor er denne cirkel grøn.
4: Vi aftegner skæringspunktet mellem de to cirkler. Skæringspunktet er markeret med et gråt punkt på figuren nedenfor, og det angiver det tredje hjørne i trekanten.
5: Nu kan vi forbinde de tre punkter, og vi har dermed konstrueret trekanten.
OBS! I punkt 4 finder vi skæringspunktet mellem de to cirkler. Når vi kigger på figuren i punkt 4, kan vi se, at cirklerne skærer hinanden to steder - både under og over linjestykket. Begge skæringspunkter kan vælges. De to trekanter, der konstrueres, vil blot være spejlinger af hinanden, så vi betragter dem som identiske.
Tilfælde 2: To sider og den mellemliggende vinkel
I dette tilfælde kender vi længden af to sider og den vinkel, der ligger mellem de to kendte sider. Nedenfor ser du en trin-for-trin gennemgang af, hvordan man konstruerer en trekant ud fra disse oplysninger.
1: Vi starter med at tegne et linjestykke med en given længde, hvor længden er den samme som den ene af trekantens sider.
2: I den ene ende af linjestykket tegner vi en vinkel med samme størrelse som den kendte vinkel i trekanten. På figuren har vi tegnet en grøn halvlinje fra linjestykkets endepunkt, som angiver vinklens størrelse.
3: Nu tegner vi en cirkel med centrum i samme endepunkt, som vinklen er tegnet ved, og med en radius, der har samme længde som den anden side i trekanten.
4: Vi aftegner skæringspunktet mellem halvlinjen og cirklen. Skæringspunktet er markeret med et gråt punkt på figuren nedenfor, og det angiver det tredje hjørne i trekanten.
5: Nu kan vi forbinde de tre punkter, og vi har dermed konstrueret trekanten.
Tilfælde 3: To sider og én ikke-mellemliggende vinkel
I dette tilfælde kender vi længden af to sider og en vinkel, der ikke ligger mellem de to kendte sider. Det kan også beskrives som, at vi kender én vinkel, siden overfor vinklen og en side, der ligger opad vinklen. Vi skal skelne mellem de to sider, når vi skal konstruere trekanten.
Nedenfor ser du en trin-for-trin gennemgang af, hvordan man konstruerer en trekant ud fra disse oplysninger.
1: Vi starter med at tegne et linjestykke med en given længde, hvor længden er den samme som den side, der ligger opad den kendte vinkel.
2: I den ene ende af linjestykket tegner vi en vinkel med samme størrelse som den kendte vinkel i trekanten. På figuren er der tegnet en grøn halvlinje fra linjestykkets endepunkt, som angiver vinklens størrelse.
3: Nu tegner vi en cirkel med centrum i det modsatte endepunkt i forhold til, hvor vinklen er tegnet, og med radius, der har samme længde som den anden side i trekanten.
4: Vi aftegner skæringspunktet mellem halvlinjen og cirklen. Det angiver det tredje hjørne i trekanten. På figuren ses det, at halvlinjen og cirklen skærer hinanden i to forskellige punkter. Det giver mulighed for at konstruere to forskellige trekanter.
5: For hvert af de to skæringspunkter, kan vi forbinde de tre punkter, og vi har dermed konstrueret trekanten.
For at afgøre hvilken trekant, der skal konstrueres, må vi vide noget mere. Det kan f.eks. være om størrelsen på den sidste side eller én af de andre vinkler. I nogen tilfælde vil den ene af de mulige trekanter være en spidsvinklet trekant, mens den anden vil være en stumpvinklet trekant. Det kan være en måde at skelne mellem dem på.
Tilfælde 4: To vinkler og den mellemliggende side.
I dette tilfælde kender vi størrelsen på to vinkler og længden på den side, der ligger mellem dem. Nedenfor ser du en trin-for-trin gennemgang af, hvordan man konstruerer en trekant ud fra disse oplysninger.
1: Vi starter med at tegne et linjestykke med en given længde, hvor længden er den samme som den side, vi kender.
2: I den ene ende af linjestykket tegner vi en vinkel med samme størrelse som den ene kendte vinkel i trekanten. På figuren er der tegnet en grøn halvlinje fra linjestykkets endepunkt, som angiver vinklens størrelse.
3: I den anden ende af linjestykket tegnes en vinkel med samme størrelse som den anden kendte vinkel i trekanten. På figuren er der tegnet en rød halvlinje fra linjestykkets endepunkt, som angiver vinklens størrelse.
4: Vi aftegner skæringspunktet mellem de to halvlinjer. Skæringspunktet angiver det tredje hjørne i trekanten.
5: Nu kan vi forbinde de tre punkter, og vi har dermed konstrueret trekanten.
Tilfælde 5: To vinkler og en ikke-mellemliggende side.
I dette tilfælde kender vi størrelsen på to vinkler og længden på en af siderne, der ikke ligger mellem vinkler.
I dette tilfælde starter man med at beregne størrelsen af den tredje vinkel. Det kan vi gøre, da summen af vinklerne i en trekant er 180$^\circ$. Vi finder altså den tredje vinkel ved at trække de to andre vinkler fra 180.
Hvis vi f.eks. kalder trekanten $ABC$, og vi kender vinklerne $B$ og $C$, kan vi udregne størrelsen på vinkel $A$, som vi ikke kender:
$$\angle A = 180 - \angle B - \angle C$$
Hvis vi f.eks. ved, at en trekant har en vinkel på $42^\circ$ og en anden vinkel på $57^\circ$, så kan vi beregne størrelsen på den sidste vinkel (som vi her kalder $A$):
$$\angle A = 180 - 42 - 57 = 81$$
Så den sidste vinkel er altså $81^\circ$.
Nu kender vi alle tre vinkler og én af siderne, dvs. vi kender også de to vinkler, der omgiver den kendte side. Trekanten kan derfor konstrueres som i tilfælde 4.
Særligt for konstruktion i GeoGebra
Konstruktion af trekanter foregår i et dynamisk geometriprogram, hvor langt de fleste anvender GeoGebra. Derfor vil vi her kigge nærmere på de værktøjer i GeoGebra, som anvendes til at konstruere trekanter.
Linjestykke med given længde
I alle fem trekantstilfælde starter konstruktionen med, at der tegnes et linjestykke med en længde, der svarer til længden på én af siderne i trekanten. I GeoGebra bruger vi værktøjet "Linjestykke med given længde" til at gøre dette. Det findes under menuen linjer, og når man vælger det, skal man placere det ene endepunkt. Herefter bliver man bedt om at angive længden på linjestykket, som så tegnes vandret i retning mod højre fra det punkt man valgte som sit ene endepunkt.
Vinkel med given størrelse
Når en eller flere af vinklerne er kendte, skal vi markere hvor stor vinklen er for at kunne konstruere trekanten. I GeoGebra bruger vi værktøjet "Vinkel med given størrelse" til at gøre dette. Det findes under menuen vinkler.
Når værktøjet vælges, skal man vælge to punkter, hvor linjestykket mellem dem bliver den linje, vinklen udgår fra. Den ende, hvor man gerne vil have vinklen markeret, skal være det andet punkt man vælger.
Når man har valgt to punkter, bliver man bedt om at indtaste størrelsen på vinklen og vælge, om den skal gå med eller mod uret. Det har ikke betydning for konstruktionen af trekanten, men hvis man gerne vil have linjestykket til at være nederst, og det tredje punkt i trekanten ovenover, skal man vælge mod uret, når vinklen skal være i venstre endepunkt og med uret, når vinklen skal være i højre endepunkt.
Når vinklen tegnes, angives også et hjælpepunkt for vinklen. Det navngives f.eks. A'. Her vil det typisk være en hjælp at bruge værktøjet "halvlinje", til at tegne en halvlinje fra vinkel-endepunktet og gennem hjælpepunktet for vinklen. "Halvlinje" værktøjet findes i menuen linjer.
Cirkel ud fra centrum og radius
Når længden på mere end én side er kendt, kan vi i GeoGebra bruge værktøjet "cirkel ud fra centrum og radius" til at angive, hvor lang en anden side er.
Når værktøjet vælges, skal man først vælge centrum for cirklen. Dette vil typisk være i ét af endepunkterne for et allerede tegnet linjestykke. Det skal være den ende, hvor den nye side skal gå ud fra. Herefter bliver man bedt om at angive radius. Her skal man skrive længden på den side, man gerne vil tegne.
Polygon-værktøjet
Når man har fundet alle tre hjørner for trekanten, kan man i GeoGebra forbinde dem med det værktøj, der hedder polygon. Værktøjet tegner og definerer trekanten som geometrisk figur i programmet, og det giver den fordel, at man med det samme kan aflæse længden på alle siderne, størrelsen på alle vinklerne og arealet af trekanten.
Når man vælger polygon-værktøjet, skal man vælge alle de tre hjørner i trekanten og afslutte med at vælge det første punkt igen.