Omformning af cirklens ligning

$$(x-2)^2+(y+1)^2=16$$

er ligningen for cirklen med centrum i C(2, -1) og radius 4.

Ved hjælp af kvadratsætningerne kan vi udregne parenteserne

$$(x-2)^2+(y+1)^2=16$$

$$(x^2+4-4x)+(y^2+1+2y)=16$$

$$x^2+y^2-4x+2y+5=16$$

$$x^2+y^2-4x+2y=11$$

Den nederste ligning er en omformning af den øverste, og derfor er den nederste også en ligning for cirklen. Imidlertid kan man ikke aflæse centrum og radius direkte ud af den. Vi vil derfor prøve at finde en metode til at omforme ligninger af den nederste slags til den øverste slags.

Vi starter med en ligning af den nederste type

$$x^2+y^2-10x+4y=-25$$

Idéen er at få samlet nogle af leddene ved hjælp af kvadratsætningerne.

$$x^2-10x\quad og\quad y^2+4y$$

skal altså ses som dele af kvadrater på toledede størrelser, hvor -10x og 4y svarer til de dobbelte produkter.

$$(x-5)^2=x^2+25-10x$$

$$(y+2)^2=y^2+4+4y$$

Vi har valgt tallene i parenteserne, således at vi får -10x og 4y til at være de dobbelte produkter. Hvis vi rykker tallene fra højre side hen på venstre, får vi

$$(x-5)^2-25=x^2-10x$$

$$(y+2)^2-4=y^2+4y$$

Højresiden er nu identisk med det, vi startede med. Derfor kan vi omforme vores ligning

$$x^2+y^2-10x+4y=-25$$

$${\color{Red} {x^2-10x}}+{\color{Blue} {y^2+4y}}=-25$$

$${\color{Red}{ (x-5)^2-25}}+{\color{Blue}{ (y+2)^2-4}}=-25$$

$$(x-5)^2+(y+2)^2=-25+25+4$$

$$(x-5)^2+(y+2)^2=4$$

Nu kan vi aflæse cirklens centrum til (5, -2) og radius til 2 (kvadratroden af 4).

Videolektion

Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!