Bestem forskriften for et andengradspolynomium ud fra toppunktet og to punkter på grafen

Parablens toppunkt er på y-aksen i yT, og vi får derudover oplyst y-værdien, y1, i to punkter beliggende symmetrisk omkring toppunktet, i hhv. +x1 og x1, se figur 1.

Figur 1 Parabel Med Toppunkt På Y -aksen

Figur 1          Parabel med toppunkt på y-aksen og to symmetriske punkter kendt

Vi tager udgangspunkt i den generelle form for forskriften for et andengrads­polynomium: y(x)=ax2+bx+c:

  • vi ved, at tallet c i forskriften angiver skæring med y-aksen – så vi kan direkte på grafen aflæse tallet c=yT
  • vi ved, at x-koordinaten for parablens toppunkt er givet ved: xT=b2a. Da toppunktet ligger på y-aksen (hvor x-koordinaten er 0), kan vi konkludere, at tallet b=0
  • vi kan heraf udlede: y(x1)=y(x1)=ax12+0x1+c=ax12+yT=y1, som giver os en ligning til bestemmelse af a

a=y1yTx21

  • og forskriften for andengrads­polynomiet er dermed:

y(x)=y1yTx21x2+yT

Hvis y1>yT er parablen glad, og hvis yT>y1 er parablen sur.

Videolektion

Eksempel

For en bro, der til forveksling ligner Dronning Alexandrines Bro (også kaldet Mønbroen, se foto), er i figur 2 vist et tværsnit af gennemsejlingsfaget.

Foto Mønbroen

Figur 2 Gennemsejlingsfag På Bro

Figur 2 Tværsnit af gennemsejlingsfag

Koordinat­systemets x-akse flugter med kørebanens underside, og buen er symmetrisk omkring koordinatsystemets y-akse.

Buen kan beskrives ved et andengradspolynomium. Buens toppunkt har y-værdien 16 m, og buen skærer x-aksen ved hhv. +40 m og – 40 m.

a)   Bestem en forskrift for buen. 

Vi aflæser af figur 2, at yT=16 m, y1=0 m og x1=40 m.
Dermed er forskriften for buen: y=16402x2+16=0,01x2+16

Det oplyses, at gennemsejlingshøjden (forstået som afstanden fra vandoverfladen ved normal vandstand til undersiden af kørebanen) er 26 m, og at oversiden af buens fundamenter er 2 m over vandoverfladen ved normal vandstand.

b)   Bestem buens spændvidde, dvs. afstanden mellem buens understøt-­
      ningspunkter på de to fundamenter (i meter) afrundet til én decimal.

Vi beregner y-værdien ved understøtningspunkterne: yu=26+2=24 m. Dette indsættes i forskriften, der løses mht. x: 
0,01x2u+16=24, hvilket giver: xu=4000=63,25 m,
og buens spændvidde er derfor 263,25 m =126,5 m. 

Har du et spørgsmål, du vil stille om Bestem forskriften for et andengradspolynomium ud fra toppunktet og to punkter på grafen? Skriv det i Webmatematiks forum!
Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!