Bestem forskriften for et andengradspolynomium ud fra toppunktet og to punkter på grafen
Parablens toppunkt er på y-aksen i yT, og vi får derudover oplyst y-værdien, y1, i to punkter beliggende symmetrisk omkring toppunktet, i hhv. +x1 og −x1, se figur 1.
Figur 1 Parabel med toppunkt på y-aksen og to symmetriske punkter kendt
Vi tager udgangspunkt i den generelle form for forskriften for et andengradspolynomium: y(x)=a⋅x2+b⋅x+c:
- vi ved, at tallet c i forskriften angiver skæring med y-aksen – så vi kan direkte på grafen aflæse tallet c=yT
- vi ved, at x-koordinaten for parablens toppunkt er givet ved: xT=−b2a. Da toppunktet ligger på y-aksen (hvor x-koordinaten er 0), kan vi konkludere, at tallet b=0
- vi kan heraf udlede: y(x1)=y(−x1)=a⋅x12+0⋅x1+c=a⋅x12+yT=y1, som giver os en ligning til bestemmelse af a:
a=y1−yTx21
- og forskriften for andengradspolynomiet er dermed:
y(x)=y1−yTx21⋅x2+yT
Hvis y1>yT er parablen glad, og hvis yT>y1 er parablen sur.
Videolektion
Eksempel
For en bro, der til forveksling ligner Dronning Alexandrines Bro (også kaldet Mønbroen, se foto), er i figur 2 vist et tværsnit af gennemsejlingsfaget.
Figur 2 Tværsnit af gennemsejlingsfag
Koordinatsystemets x-akse flugter med kørebanens underside, og buen er symmetrisk omkring koordinatsystemets y-akse.
Buen kan beskrives ved et andengradspolynomium. Buens toppunkt har y-værdien 16 m, og buen skærer x-aksen ved hhv. +40 m og – 40 m.
a) Bestem en forskrift for buen.
Vi aflæser af figur 2, at yT=16 m, y1=0 m og x1=40 m.
Dermed er forskriften for buen: y=−16402⋅x2+16=–0,01⋅x2+16
Det oplyses, at gennemsejlingshøjden (forstået som afstanden fra vandoverfladen ved normal vandstand til undersiden af kørebanen) er 26 m, og at oversiden af buens fundamenter er 2 m over vandoverfladen ved normal vandstand.
b) Bestem buens spændvidde, dvs. afstanden mellem buens understøt-
ningspunkter på de to fundamenter (i meter) afrundet til én decimal.
Vi beregner y-værdien ved understøtningspunkterne: yu=–26+2=–24 m. Dette indsættes i forskriften, der løses mht. x:
–0,01⋅x2u+16=–24, hvilket giver: xu=√4000=63,25 m,
og buens spændvidde er derfor 2⋅63,25 m =126,5 m.