Dobbelte uligheder

Når man arbejder med uligheder, vurderer man altid i hvilket interval, det giver mening at betragte uligheden. Intervaller kan opskrives på to måder:

$$x \in \mathbb{R}| \, b<x<a \qquad \mathrm{eller} \qquad ]b;a]$$

Intervaller opdeles i åbne, halvåbne og lukkede intervaller (se mængdebyggeren og symboler). 

Grafisk markeres åbne intervaller med symbolet  \("\circ"\) og lukkede intervaller markeres med symbolet \("\bullet"\).

Grafisk ser det sådan ud:

Åbne Og Lukkede Intervaller2

Når man skal løse uligheder, kan man møde både lukkede, halvåbne og åbne intervaller:

$$\begin{align} a<x<b &= ]a,b[ \\ a \leq x < b &=[a,b[ \\a< x\leq b &= ]a,b] \\ a \leq x \leq b &= [a,b]\end{align}$$

En dobbeltulighed indeholder to ulighedstegn, som vender samme vej. Nu ser vi på, hvordan vi løser sådan en ulighed:

Vi skal løse denne dobbeltudlighed \(4x - 14 < 18x + 20 < 35x - 15\). For at gøre det, deler vi den op i to uligheder: \(4x - 14 < 18x + 20 \) og \(18x + 20 < 35x - 15\).

Vi betragter først \(4x - 14 < 18x + 20 \). Vi rykker rundt på leddene og reducerer: 

Ulighed 11

Ud fra det kan vi konkludere, at x skal være større end -2,4.

Så ser vi på den næste ulighed, nemlig \(18x + 20 < 35x - 15\), som vi behandler på samme måde: 

Ulighed 2

Ud fra det kan vi konkludere, at x skal være større end 2,1.

Når x er større end 2,1, er x automatisk også større end -2,4, så løsningen på uligheden er \(L= \{ x \in \mathbb{R} | x > 2,1 \} = ]2,1;\infty[ \)

Grafisk ser løsningen sådan ud: Grafisk UlighedsløsningHer viser den blå markering  løsningen til første del af uligheden, mens den røde viser løsningen til anden del. Den grønne viser den samlede løsning.

Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!