Differentialligninger med to funktioner

Differentialligninger af typen \(y’=h(x) \cdot g(y) \)

Denne type differentialligning er anderledes fra de andre, vi har set på her og i afsnittet til STX, da den indeholder to funktioner, nemlig \(h(x)\) og \(g(y)\).

I denne situation benytter vi os af udtrykket\( \frac{dy}{dx} \) i stedet for y’, så vi får \( \frac{dy}{dx} = h(x)\cdot g(y) \)

Vi separerer nu de variable, så alt, hvad der indeholder \(x\), er samlet på den ene side af lighedstegnet og tilsvarende for \(y\) på den anden side. Det gør vi ved at gange med \(\mathrm{d}x\) på begge sider og dividere med \(g(y)\) på begge sider. Det giver os følgende:

$$ \frac{1}{g(y)} \, \mathrm{d}y = h(x) \, \mathrm{d}x$$

Da du samler alle x’erne på den ene side og alle y’erne på den anden, får du adskilt de to variable, hvorfor denne metode også kaldes for separationsmetoden.

Vi integrerer nu på begge sider af lighedstegnet:

$$ \int \frac{1}{g(y)} \,\mathrm{d}y= \int h(x) \mathrm{d}x$$

Dette er løsningsformlen.

En differentialligning af typen $$ y’=h(x) \cdot g(y) \quad \quad g(y) \neq 0$$ løses altså ved at løse ligningen

\( \int \frac{1}{g(y)} \, \mathrm{d}y = \int h(x) \mathrm{d}x\) med hensyn til \(y\).

Eksempel

Vi kan for eksempel betragte differentialligningen $$ y’=3xy $$

Du kan se det, som om du har to funktioner, da der er to variable:

\( h(x)=3x\) og \(g(y)=y\).

Vi antager desuden, at \( y \neq 0 \)

Vi benytter os nu af den løsningsformel, vi udledte ovenfor:

$$ \int \frac{1}{g(y)} \mathrm{d}y= \int h(x) \mathrm{d}x $$

Her indsætter vi \( h(x)=3x \) og \( g(y)=y\), så vi får:

$$\int \frac{1}{y} \, \mathrm{d}y = \int 3x \, \mathrm{d}x$$

Ved at integrere \( \frac{1}{y}\) og \(3x\) får vi:

$$ \ln (y)= \frac{3}{2} \cdot x^2+k $$

(jf. regnereglen \( \int \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x= \ln x +k\) og \( \int kx \,\mathrm{d}x=\frac{k}{2}\cdot x^2 +k\))

Vi ophæver nu den naturlige logaritme, \(\ln(x)\), så y står isoleret ved at udnytte at \( e^{\ln(x)}=x \) på begge sider af lighedstegnet. Vi sætter altså alle leddene i eksponenten i \(e^x \):

$$e^{\ln(y)} = e^{\frac{3}{2} \cdot x^{2}+k}$$

og får herved:

$$ y = e^{ \frac{3}{2} \cdot x^2+k} $$

Vi har nu løst differentialligningen.

Differentialligninger af typen \( y’=g(y) \)

Denne type differentialligning er et specialtilfælde af differentialligningen ovenfor, så vi betragter den samme måde som \( y’=h(x)\cdot g(y) \). Her er \(h(x)\) blot lig 1.

Dette betyder, at vi kan omskrive vores oprindelige løsningsformel:

$$ \int \frac{1}{g(y)} \, \mathrm{d}y = \int h(x) \mathrm{d}x$$

til

$$ \int \frac{1}{g(y)} \, \mathrm{d}y = \int 1 \mathrm{d}x$$

Ud fra regnereglen om integralet af tallet 1 ved vi, at \( \int 1 \mathrm{d}x = x+k\). Vi får altså:

$$\int \frac{1}{g(y)} \, \mathrm{d}y = x+k$$

Det er således løsningsformlen til differentialligningen \( y’=g(y) \)

Eksempel

Vi betragter differentialligningen $$ y’= (y-5)^2 $$

Vi betegner nu y’ som g(y) i dette tilfælde. Altså, $$ g(y)= (y-5)^2 $$

Dette indsætter vi nu i vores løsningsformel:

$$ \int \frac{1}{(y-5)^2} \mathrm{d}y= x+k $$

Vi finder nu integralet af venstre side:

$$ \int \frac{1}{(y-5)^2} \mathrm{d}y= \frac{-1}{y-5}$$

 Altså får vi:

$$ \frac{-1}{y-5}= x+k $$

Vi kan nu omforme denne ligning med henblik på at isolere y:

$$ \frac{-1}{y-5}= x+k $$

$$ -1=(x+k) \cdot (y-5) $$

$$ \frac{-1}{x+k} = y-5 $$

$$ \frac{-1}{x+k} +5 = y $$

Altså, er \( y=\frac{-1}{x+k}+5 \) løsningen på differentialligningen \( y’= (y-5)^2 \) 

Videolektion

Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!