Trekantens tyngdepunkt

Tyngdepunkt for firkanter:

Vi kan først betragte tyngdepunktet for firkanter:

Trekanternes Tyngdepunkt - Billede 1

Her er tyngdepunktet, hvor diagonalerne skærer hinanden. Det punkt kalder vi for tyngdepunktet T. (En god regel er, at de dannede trekanter skal alle have samme areal)

Tyngdepunkt for trekanter:

Tyngdepunktet er dér, hvor medianerne skærer hinanden. Her har alle de dannede trekanter også samme areal.  Trekanternes Tyngdepunkt - Billede 2

Vi kan kigge på trekanten i et koordinatsystem:

Trekanternes Tyngdepunkt - Billede 3Her kan vi skrive tyngdepunktet med formlen: $$T(x,y)=(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})$$

Eksempel 1 - find tyngdepunkt ud fra givet figur:

En trekant ABC er indtegnet i et koordinatsystem:

Trekanternes Tyngdepunkt Eks 1

Vi skal finde trekantens tyngdepunkt og indtegne det i trekanten: $$T(x,y)=(\frac{2+5+3}{3},\frac{2+4+8}{3})=(\frac{10}{3},\frac{14}{3})=(3.33,4.66)$$ Tyngdepunkt kan nu indtegnes:

Trekanternes Tyngdepunkt Eks 1.1

 Eksempel 2 - udregne punkt i trekant ud fra to punkter og tyngdepunkt

Vi har fået givet 2 punkter og et tyngdepunkt for en trekant ABC: $$ A=(2,3) \, \, , \, \,  B=(7,8) \, \, \,  og \,  \, \,  T(x,y)=(5,4)$$  Vi skal udregne det sidste punkt C som danner en trekant med punkt A og punkt B, hvor trekanten har det oplyste tyngdepunkt. $$T(x,y)=(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})$$ $$(5,4)=(\frac{2+7+x_3}{3},\frac{3+8+y_3}{3})$$

Vi kan nu udregne x-komponenten og y-komponenten hver for sig.

$$5=\frac{9+x_3}{3}\implies x_3=15-9=6$$ $$4=\frac{11+y_3}{3}\implies y_3=12-11=1$$  Dvs. vi nu har punktet C givet ved $$C=(6,1)$$

Industrieksempel - Gaffeltrucks tyngdepunkt vha. stabilitetstrekant

Vi har følgende gaffeltruck, og vi ønsker at finde dens tyngdepunkt:

 Trekanternes Tyngdepunkt Eksempel Billede 1Trekanternes Tyngdepunkt Eksempel Billede 1.1  Dette kan vi gøre ved at kigge på gaffeltruckens stabilitetstrekant (blå trekant på tegningen). 

Trekanternes Tyngdepunkt Eksempel Billede 2Denne stabilitetstrekant er meget vigtig, for hvis gaffeltruckens tyngdepunkt ligger uden for stabilitetstrekanten, er gaffeltrucken ustabil og tipper.

Vi kan antage (for dette eksempel), at vi kan beregne gaffeltruckens tyngdepunkt ved brug af vores formel til at finde tyngdepunkter i trekanter. 

Vi får oplyst, at vi kan betragte de 3 punkter A,B og C i trekanten i et koordinatsystem givet ved:

Trekanternes Tyngdepunkt Eksempel Billede 2.1

$$T(x,y)=(\frac{0+0+6}{3},\frac{1+0+0.5}{3})=(\, \frac{6}{3},\frac{1.5}{3}\, )=(2,0.5)$$ Vi kan se, at tyngdepunktet  T ligger inden for stabilitetstrekanten, og dermed er gaffeltruck stabil. 

 Trekanternes Tyngdepunkt Eksempel Billede 2.2        Trekanternes Tyngdepunkt Eksempel Billede 3

Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!