Additionsformlerne og den dobbelte vinkel

Additionsformlerne er en samling formler, der fortæller, hvordan man tager cosinus og sinus til en sum af vinkler. De er som følger

$$ \sin(u+v) = \sin(u) \cos(v) + \cos(u) \sin(v) \\
\sin(u-v) = \sin(u) \cos(v) - \cos(u) \sin(v) \\
\cos(u+v) = \cos(u) \cos(v) - \sin(u) \sin(v) \\
\cos(u-v) = \cos(u) \cos(v) + \sin(u) \sin(v) $$

Med disse formler ved hånden er det en simpel opgave at finde udtryk for både \( \cos(2v) \) og \( \sin(2v) \).

$$ \sin(2v) = \sin(v+v) = \sin(v) \cos(v) + \cos(v) \sin(v) = 2 \cos(v) \sin(v) $$

Ved at benytte idiotformlen, \( \cos(v)^2 + \sin(v)^2 = 1 \), finder vi at

$$ - \sin(v)^2 =  \cos(v)^2 - 1$$

Dermed er

$$ \cos(2v) = \cos(v+v) = \cos(v)^2 - \sin(v)^2 = 2 \cos(v)^2-1 = \frac{ 2 \tan(v) }{ 1-\tan(v)^2 }$$