Indlæser [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

Pilhøjde

For både cirkeludsnittet og cirkelbuen fastlægges korden, k, som linjestykket, der forbinder cirkelbuens to endepunkter. Vinkelhalveringslinjen for cirkeludsnittet/cirkelbuen er samtidig midtnormal til korden, k, dvs. den står vinkelret på korden og deler den i to lige store dele, se figur 4.

Pilhøjden defineres som afstanden – målt langs vinkelhalveringslinjen – fra korden, k, til cirkelperiferien.

 Figur 4 Pilhøjde

 Figur 4          Pilhøjde for et cirkeludsnit/en cirkelbue

Det ses af figuren, at pilhøjden er givet ved   r – r\cdot\cos(\frac{v}{2}) = r\cdot (1-\cos(\frac{v}{2})),

hvor 0<v\leq 180^\circ eller 0<v\leq\pi

Nogle taleksempler:

v (grader) v (radianer) Pilhøjde
30^\circ \frac{\pi}{6} r\cdot (1-\cos(15^\circ)) = 0{,}034\cdot r
45^\circ \frac{\pi}{4} r\cdot (1-\cos(22,5^\circ)) = 0{,}076\cdot r
60^\circ \frac{\pi}{3}  r\cdot (1-\cos(30^\circ)) = r\cdot \big(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\big) = 0{,}134\cdot r
90^\circ \frac{\pi}{2}  r\cdot (1-\cos(45^\circ)) = r\cdot \big(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\big) = 0{,}293\cdot r
120^\circ \frac{2\pi}{3} r\cdot (1-\cos(60^\circ)) = r\cdot \big(1-\frac{1}{2}\big) = 0{,}5\cdot r
135^\circ \frac{3\pi}{4}  r\cdot (1-\cos(67,5^\circ)) = 0{,}617\cdot r
150^\circ \frac{5\pi}{6}  r\cdot (1-\cos(75^\circ)) = 0{,}741\cdot r
180^\circ \pi  r\cdot (1-\cos(90^\circ)) = r\cdot (1-0) = r

 

Området mellem cirkelbuen og korden, k, betegner vi M, se figur 5. 

 Figur 5 Areal Over Korde

Figur 5          Areal af område mellem cirkelbue og korde

Arealet af M kan beregnes som arealet af hele cirkeludsnittet hørende til cirkelbuen fratrukket arealet af trekanten under korden, k. I trekanten under korden, k, er grundlinjen g = 2\cdot r\cdot\sin(\frac{v}{2}) og højden h = r\cdot\cos(\frac{v}{2}), og dermed er arealet af trekanten under korden: 
A_k = \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h = r^2\cdot\sin(\frac{v}{2})\cdot\cos(\frac{v}{2}).

Hvis vinklen, v, angives i grader (0<v\leq 180^\circ), er arealet af M :

A_M = A_{udsnit}  –  A_k = \dfrac{v}{360}\cdot\pi\cdot r^2 – r^2\cdot\sin(\frac{v}{2})\cdot\cos(\frac{v}{2})

= \pi\cdot r^2\cdot (\dfrac{v}{360} - \dfrac{1}{\pi}\cdot \sin(\frac{v}{2})\cdot \cos(\frac{v}{2}))

Hvis vinklen, v, angives i radianer (0<v\leq\pi), er arealet af M:

A_M = A_{udsnit}  –  A_k = \dfrac{v}{2}\cdot r^2 - r^2\cdot\sin(\frac{v}{2})\cdot\cos(\frac{v}{2})

= r^2\cdot (\dfrac{v}{2}-\sin(\frac{v}{2})\cdot\cos(\frac{v}{2}))

Alternativ formel

Hvis man gerne vil undgå cosinus og sinus, kan følgende formel også bruges til at bestemme pilhøjden: 

r = \frac{k^2}{8h}+\frac{h}{2}

Idet vi ved, at pilhøjden altid har en værdi mellem 0 og radius r, og at r \geq \frac{k}{2}kan vi få følgende udtryk:

h = r- \sqrt{r^2-\bigg(\frac{k}{2}\bigg)^2}

Har du et spørgsmål, du vil stille om Pilhøjde? Skriv det i Webmatematiks forum!
Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!