Pilhøjde
For både cirkeludsnittet og cirkelbuen fastlægges korden, k, som linjestykket, der forbinder cirkelbuens to endepunkter. Vinkelhalveringslinjen for cirkeludsnittet/cirkelbuen er samtidig midtnormal til korden, k, dvs. den står vinkelret på korden og deler den i to lige store dele, se figur 4.
Pilhøjden defineres som afstanden – målt langs vinkelhalveringslinjen – fra korden, k, til cirkelperiferien.
Figur 4 Pilhøjde for et cirkeludsnit/en cirkelbue
Det ses af figuren, at pilhøjden er givet ved r – r\cdot\cos(\frac{v}{2}) = r\cdot (1-\cos(\frac{v}{2})),
hvor 0<v\leq 180^\circ eller 0<v\leq\pi
Nogle taleksempler:
v (grader) | v (radianer) | Pilhøjde |
30^\circ | \frac{\pi}{6} | r\cdot (1-\cos(15^\circ)) = 0{,}034\cdot r |
45^\circ | \frac{\pi}{4} | r\cdot (1-\cos(22,5^\circ)) = 0{,}076\cdot r |
60^\circ | \frac{\pi}{3} | r\cdot (1-\cos(30^\circ)) = r\cdot \big(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\big) = 0{,}134\cdot r |
90^\circ | \frac{\pi}{2} | r\cdot (1-\cos(45^\circ)) = r\cdot \big(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\big) = 0{,}293\cdot r |
120^\circ | \frac{2\pi}{3} | r\cdot (1-\cos(60^\circ)) = r\cdot \big(1-\frac{1}{2}\big) = 0{,}5\cdot r |
135^\circ | \frac{3\pi}{4} | r\cdot (1-\cos(67,5^\circ)) = 0{,}617\cdot r |
150^\circ | \frac{5\pi}{6} | r\cdot (1-\cos(75^\circ)) = 0{,}741\cdot r |
180^\circ | \pi | r\cdot (1-\cos(90^\circ)) = r\cdot (1-0) = r |
Området mellem cirkelbuen og korden, k, betegner vi M, se figur 5.
Figur 5 Areal af område mellem cirkelbue og korde
Arealet af M kan beregnes som arealet af hele cirkeludsnittet hørende til cirkelbuen fratrukket arealet af trekanten under korden, k. I trekanten under korden, k, er grundlinjen g = 2\cdot r\cdot\sin(\frac{v}{2}) og højden h = r\cdot\cos(\frac{v}{2}), og dermed er arealet af trekanten under korden:
A_k = \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h = r^2\cdot\sin(\frac{v}{2})\cdot\cos(\frac{v}{2}).
Hvis vinklen, v, angives i grader (0<v\leq 180^\circ), er arealet af M :
A_M = A_{udsnit} – A_k = \dfrac{v}{360}\cdot\pi\cdot r^2 – r^2\cdot\sin(\frac{v}{2})\cdot\cos(\frac{v}{2})
= \pi\cdot r^2\cdot (\dfrac{v}{360} - \dfrac{1}{\pi}\cdot \sin(\frac{v}{2})\cdot \cos(\frac{v}{2}))
Hvis vinklen, v, angives i radianer (0<v\leq\pi), er arealet af M:
A_M = A_{udsnit} – A_k = \dfrac{v}{2}\cdot r^2 - r^2\cdot\sin(\frac{v}{2})\cdot\cos(\frac{v}{2})
= r^2\cdot (\dfrac{v}{2}-\sin(\frac{v}{2})\cdot\cos(\frac{v}{2}))
Alternativ formel
Hvis man gerne vil undgå cosinus og sinus, kan følgende formel også bruges til at bestemme pilhøjden:
r = \frac{k^2}{8h}+\frac{h}{2}
Idet vi ved, at pilhøjden altid har en værdi mellem 0 og radius r, og at r \geq \frac{k}{2}kan vi få følgende udtryk:
h = r- \sqrt{r^2-\bigg(\frac{k}{2}\bigg)^2}