Pilhøjde

For både cirkeludsnittet og cirkelbuen fastlægges korden, $k$, som linjestykket, der forbinder cirkelbuens to endepunkter. Vinkelhalveringslinjen for cirkeludsnittet/cirkelbuen er samtidig midtnormal til korden, $k$, dvs. den står vinkelret på korden og deler den i to lige store dele, se figur 4.

Pilhøjden defineres som afstanden – målt langs vinkelhalveringslinjen – fra korden, $k$, til cirkelperiferien.

Figur 4 Pilhøjde

Figur 4 Pilhøjde for et cirkeludsnit/en cirkelbue

Det ses af figuren, at pilhøjden er givet ved $ r – r\cdot\cos(\frac{v}{2}) = r\cdot (1-\cos(\frac{v}{2}))$,

hvor $0<v\leq 180^\circ$ eller $0<v\leq\pi$

Nogle taleksempler:

$v$ (grader)	$v$ (radianer)	Pilhøjde
$30^\circ$	$\frac{\pi}{6}$	$r\cdot (1-\cos(15^\circ)) = 0{,}034\cdot r$
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$	$r\cdot (1-\cos(22,5^\circ)) = 0{,}076\cdot r$
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$	$r\cdot (1-\cos(30^\circ)) = r\cdot \big(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\big) = 0{,}134\cdot r$
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$	$r\cdot (1-\cos(45^\circ)) = r\cdot \big(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\big) = 0{,}293\cdot r$
$120^\circ$	$\frac{2\pi}{3}$	$r\cdot (1-\cos(60^\circ)) = r\cdot \big(1-\frac{1}{2}\big) = 0{,}5\cdot r$
$135^\circ$	$\frac{3\pi}{4}$	$r\cdot (1-\cos(67,5^\circ)) = 0{,}617\cdot r$
$150^\circ$	$\frac{5\pi}{6}$	$r\cdot (1-\cos(75^\circ)) = 0{,}741\cdot r$
$180^\circ$	$\pi$	$r\cdot (1-\cos(90^\circ)) = r\cdot (1-0) = r$

Området mellem cirkelbuen og korden, $k$, betegner vi $M$, se figur 5.

Figur 5 Areal Over Korde

Figur 5 Areal af område mellem cirkelbue og korde

Arealet af $M$ kan beregnes som arealet af hele cirkeludsnittet hørende til cirkelbuen fratrukket arealet af trekanten under korden, $k$. I trekanten under korden, $k$, er grundlinjen $g = 2\cdot r\cdot\sin(\frac{v}{2})$ og højden $h = r\cdot\cos(\frac{v}{2})$, og dermed er arealet af trekanten under korden:
$A_k = \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h = r^2\cdot\sin(\frac{v}{2})\cdot\cos(\frac{v}{2})$.

Hvis vinklen, v, angives i grader ($0<v\leq 180^\circ$), er arealet af $M$ :

$A_M = A_{udsnit} – A_k = \dfrac{v}{360}\cdot\pi\cdot r^2 – r^2\cdot\sin(\frac{v}{2})\cdot\cos(\frac{v}{2})$

$= \pi\cdot r^2\cdot (\dfrac{v}{360} - \dfrac{1}{\pi}\cdot \sin(\frac{v}{2})\cdot \cos(\frac{v}{2}))$

Hvis vinklen, v, angives i radianer ($0<v\leq\pi$), er arealet af $M$:

$A_M = A_{udsnit} – A_k = \dfrac{v}{2}\cdot r^2 - r^2\cdot\sin(\frac{v}{2})\cdot\cos(\frac{v}{2})$

$= r^2\cdot (\dfrac{v}{2}-\sin(\frac{v}{2})\cdot\cos(\frac{v}{2}))$

Alternativ formel

Hvis man gerne vil undgå cosinus og sinus, kan følgende formel også bruges til at bestemme pilhøjden:

$$ r = \frac{k^2}{8h}+\frac{h}{2} $$

Idet vi ved, at pilhøjden altid har en værdi mellem 0 og radius r, og at $ r \geq \frac{k}{2}$kan vi få følgende udtryk:

$$ h = r- \sqrt{r^2-\bigg(\frac{k}{2}\bigg)^2} $$

Har du et spørgsmål, du vil stille om Pilhøjde? Skriv det i Webmatematiks forum!

Har du en kommentar til indholdet på denne side? Send os en mail!

\(v\) (grader)	\(v\) (radianer)	Pilhøjde
\(30^\circ\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(r\cdot (1-\cos(15^\circ)) = 0{,}034\cdot r\)
\(45^\circ\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(r\cdot (1-\cos(22,5^\circ)) = 0{,}076\cdot r\)
\(60^\circ\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(r\cdot (1-\cos(30^\circ)) = r\cdot \big(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\big) = 0{,}134\cdot r\)
\(90^\circ\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(r\cdot (1-\cos(45^\circ)) = r\cdot \big(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\big) = 0{,}293\cdot r\)
\(120^\circ\)	\(\frac{2\pi}{3}\)	\(r\cdot (1-\cos(60^\circ)) = r\cdot \big(1-\frac{1}{2}\big) = 0{,}5\cdot r\)
\(135^\circ\)	\(\frac{3\pi}{4}\)	\(r\cdot (1-\cos(67,5^\circ)) = 0{,}617\cdot r\)
\(150^\circ\)	\(\frac{5\pi}{6}\)	\(r\cdot (1-\cos(75^\circ)) = 0{,}741\cdot r\)
\(180^\circ\)	\(\pi\)	\(r\cdot (1-\cos(90^\circ)) = r\cdot (1-0) = r\)