Fortegnsbestemmelse

Nogle gange skal vi løse uligheder, der indeholder en eller flere brøker, og i disse tilfælde er det en god idé at bestemme intervallerne for, hvornår brøkens værdi er henholdsvis positiv og negativ, samt fastlægge hvornår brøkens værdi er 0 og hvornår brøken ikke er defineret (nævneren = 0). Dette kalder vi under ét for fortegnsbestemmelse. 

Vi ser på brøken \(\frac{a}{b}\), hvor \(a\) og \(b\) er to regneudtryk (f.eks. funktioner af x) og vi antager, at begge regneudtryk giver reelle tal.

Da vi ikke må dividere med 0, må \(b\) ikke være lig med 0. \(b\) kan derfor være et hvilket som helst reelt tal, bortset fra nul.

Vi kan desuden se, at brøkens værdi er lig med 0, når \(a = 0\). Ud fra regnereglerne om negative tal kan vi endvidere konkludere, at brøken er positiv, hvis \(a\) og \(b\) har samme fortegn, og brøken er negativ, hvis \(a\) og \(b\) har forskelligt fortegn.

Når vi kender regneudtrykkene \(a\) og \(b\), kan vi bestemme fortegnene for hver af dem som funktion af x, og indtegne dette på en tallinje. Ud fra ovenstående kan vi herefter vurdere brøkens fortegn i de forskellige x-intervaller. 

Lad os se på et eksempel:

Vi vil løse uligheden \( \frac{x\: -\: 8}{x\: -\: 3} > 0\) 

Først bestemmer vi det, vi kunne kalde grundmængden, nemlig de x-værdier for hvilke brøken er defineret. Nævneren er 0, når \(x = 3\), så denne værdi må \(x\) ikke antage:

$$ \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 3\}$$

Det er herefter en god idé at finde ud af, hvornår brøken er nul. Hvis \(x = 8\), vil tælleren have værdien \(8 - 8 = 0\), og derfor vil brøken være 0, når \(x = 8\). Her bemærker vi, at da uligheden indeholder et skarpt ulighedstegn, er værdien \(x = 8\) ikke en del af løsningsmængden.

Ser vi herefter på tælleren, vil den være negativ, når \(x < 8\), og positiv, når \(x > 8\). For nævnerens vedkommende er den negativ, når \(x < 3\), og positiv, når \(x > 3\). 

Vi kan nu konkludere, at hvis \(x < 3\), er både tælleren og nævneren negativ, og dermed er brøken positiv. Hvis \(3 < x < 8\), er tælleren negativ og nævneren positiv, og dermed er brøken negativ. Hvis \(x > 8\), er både tælleren og nævneren positiv, og dermed er brøken positiv. 

Vi kan derfor konkludere, at løsningen til uligheden \( \frac{x\: -\: 8}{x\: -\: 3} > 0\) er: 

$$L = \{ x \in \mathbb{R} | -\infty < x < 3 \vee 8 < x < \infty \}$$