Differentiation af funktionen f(x) = log\(_{10}\)(x)

Sammenhængen mellem 10-tals logaritmen og den naturlige logaritme er:

\(f(x) = \log_{10}(x) = \dfrac{1}{\ln(10)}\cdot \ln(x), x>0\)

Vi ser, at 10-tals logaritmen er lig med den naturlige logaritme multipliceret med et tal (den reciprokke værdi af \(\ln(10)\)), og differentialkvotienten for 10-tals logaritmen er dermed lig med differentialkvotienten for den naturlige logaritme divideret med den naturlige logaritme til 10.

Da differentialkvotienten for den naturlige logaritme er \(\frac{1}{x}\), når vi frem til:

\(f(x) = \log_{10}(x) \implies f’(x) = \dfrac{1}{\ln(10)}\cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x\cdot \ln(10)} = \dfrac{\frac{1}{x}}{\ln(10)}, x>0\)

Overalt på grafen for 10-tals logaritmen, se figuren, kan vi altså beregne grafens hældning og dermed tangentens hældning som den reciprokke værdi af x divideret med \(\ln(10)\approx 2,30\).

Figur          Grafen for \(f(x) = \log_{10}(x)\)