Svingninger og periodiske funktioner
En periodisk funktion er en funktion, der opfylder, at \( f(x+T) = f(x) \) for et tal \( T \). Tallet \( T \) kaldes ofte perioden eller svingningstiden. \( T \) fortæller, hvor langt du skal gå ud ad \( x \)-aksen, før du får samme funktionsværdi, som du havde i det punkt, du startede i. Typiske eksempler på periodiske funktioner er vores trigonometriske funktioner, cosinus, sinus og tangens. Perioden for \( \cos(x) \) og \( \sin(x) \) er \( 2 \pi \), da det svarer til, at vi er gået en hel gang rundt i enhedscirklen, og vi dermed står i det punkt, vi startede i. Se figuren nedenfor, den pink graf er \( \cos(x) \), mens den blå graf er \( \sin(x) \).
En periodisk funktion kan være på formen
$$ f(t) = A \sin( \omega t + \varphi) + k$$
Før vi begynder at undersøge betydningen af alle konstanterne, \( A , \omega , \varphi , k \), lad os lige give navnene til konstanterne
- \( A \) kaldes amplituden.
- \( \omega \) (det græske bogstav, omega), kaldes vinkelfrekvensen.
- \( -\frac{\varphi}{\omega} \) (det græske bogstav, phi, udtales fi), kaldes faseforskydningen.
- \( k \) har ikke noget særligt navn. Den kan kaldes en forskydningskonstant - hvilket ikke bør blandes sammen med faseforskydningen.
Lad os nu undersøge en konstant af gangen.
Amplituden
Lad os betragte funktionen
$$ f(t) = A \sin(t). $$
Da \( \sin(t) \) svinger mellem \( -1 \) og \( 1 \), vil \( A \sin(t) \) svinge mellem \( -A \) og \( A \), idet vi bare har ganget alle værdierne, som \( \sin(t) \) spytter ud med \( A \). Ved at variere \( A \) kan vi således ændre funktionens udsving. I figuren herunder har vi skitseret \( f \) med forskellige værdier for \( A \):
Vinkelfrekvensen
Lad os betragte funktionen
$$ f(t) = \sin(\omega t). $$
Hvis \( \omega \) er stor, vil \( \omega t \) være større end \( t \). For eksempel, hvis \( \omega = 2 \) og \( t \) løber fra \( 0 \) til \( 2 \pi \), vil \( \omega t \) løbe fra \( 0 \) til \( 4 \pi \). Det vil sige, at \( \sin ( \omega t ) \) vil nå at løbe 2 perioder igennem på samme tid som \( \sin(t) \) når 1 periode igennem, altså er frekvensen for \( \sin (\omega t ) \) dobbelt så stor som for \( \sin (t) \).
Omvendt gælder det, hvis \( \omega \) er lille, vil \( \omega t \) være mindre end \( t \). Eksempelvis gælder det, at hvis \( \omega = 1/2 \) og \( t \) løber fra \( 0 \) til \( 2 \pi \), vil \( \omega t \) løbe fra \( 0 \) til \( \pi \). Det vil sige, \( \sin ( \omega t ) \) vil nå at løbe en halv periode igennem på samme tid som \( \sin(t) \) når 1 periode igennem, altså er frekvensen for \( \sin ( \omega t ) \) halvt så stor som for \( \sin (t) \). I figuren nedenfor er der skitseret 3 grafer med forskellige værdier for \( \omega \).
Faseforskydningen
Lad os betragte funktionen
$$ f(t) = \sin(\omega t + \varphi). $$
Vi har, at \( \sin(t) \) "starter" sin svingning i punktet \( (0,0) \), men for \( \sin(\omega t + \varphi) \), vil svingningen starte længere henne ad x-aksen i punktet $(-\frac{\varphi}{\omega},0)$. Den afstand, den periodiske funktionen er forskudt henad x-aksen kaldes for faseforskydningen. Faseforskydningen for \( \sin(\omega t + \varphi) \) er altså \(-\frac{\varphi}{\omega}\).
I nogle lærebøger beskrives faseforskydningen som $-\varphi$. Man skal være opmærksom på, at det kun er når $\omega=1$, at faseforskydningen kan betegnes som $-\varphi$ i forhold til den forskydning, vi her definerer. Der kan være tale om en anden slags forskydning i andre materialer, så det er vigtigt at være opmærksom på hvordan det præcis defineres.
På billedet herunder, ser vi funktionen $f(t)=\sin(t-\pi)$. Her er \(\omega = 1\) og \(\varphi = \pi \), hvilket betyder, at vi faseforskydningen er $-\frac{\varphi}{\omega}=-\frac{-\pi}{1}=\pi$.
Vi ser, hvordan faseforskydningen er forskydningen af svingningen hen ad x-aksen. Nedenunder er et par eksempler på forskellige valg af \( -\frac{\varphi}{\omega} \).
Bemærk, at hvis der er positiv faseforskydning, rykkes grafen mod højre, mens en negativ faseforskydning giver en forskydning af grafen mod venstre.
Konstanten \( k \)
Hvis du har et udtryk på formen
$$ f(t) = \sin(t)+k,$$
bliver der lagt \( k \) til alle funktionsværdierne for \( \sin (t) \). I modsætning til faseforskydningen, vil dette føre til en forskydningen langs \( y \)-aksen. Se figuren nedenfor
Svingningstid, frekvens og vinkelfrekvens
Alle disse 3 ord er forskellige udtryk for, hvor hurtigt en svingning oscillerer (svinger). Lad os prøve at italesætte forskellene.
Vi betragter en svingning på formen
$$ f(t) = A \sin( \omega t + \varphi) + k. $$
Svingningstid er den tid det tager svingningen at gennemløbe en periode. Det vil sige det, vi kaldte \( T \) ovenfor. Først bemærker vi, at amplituden, \( A \), faseforskydningen, \( \frac{-\varphi}{\omega} \), og \( k \) ikke har nogen indflydelse på, hvor hurtigt grafen svinger. Svingningstiden skal opfylde at
$$ \sin\big( \omega(t+T)\big) = \sin (\omega t) .$$
Da \( \sin(t) \) har periode \( 2 \pi \), skal forskellen på \( \omega(t+T) \) og \( \omega t \) være \( 2 \pi \) for at \(\sin\big(\omega(t+T)\big)=\sin(\omega t)\). Det vil sige, at vi kan finde \( T \) ved at løse ligningen
$$ \omega (t+T) - \omega \cdot t = 2 \pi \implies \omega\cdot t + \omega\cdot T - \omega\cdot t= 2\pi,$$
hvilket betyder, at \( \omega T = 2 \pi \), så
$$ T = \frac{2 \pi}{\omega}.$$
Vinkelfrekvensen er antallet af perioder en svingning gennemløber på et omløb i enhedscirklen, det vil sige antallet af perioder på et tidsinterval af længde \( 2 \pi \) sekunder (motivation kan findes i figuren i afsnittet om vinkelfrekvensens betydning).
Frekvensen er antallet af perioder en svingning gennemløber på et sekund. Hvis vi husker på, at vinkelfrekvensen var antallet af svingninger på et \( 2 \pi \) sekunders interval, vil antallet af svingninger på et sekund være vinkelfrekvensen divideret med \( 2 \pi \). Det vil sige, at
$$ f = \frac{ \omega }{ 2 \pi }.$$
Hvis vi husker, at \( T = \frac{ 2 \pi}{ \omega} \), genkender vi frekvensen som
$$ f = \frac{1}{T}.$$